2017年哈尔滨工业大学威海校区831高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
为方程
的三个根，使
的所有实数n ，并对每个这样的口，求出相应的【答案】令因为
代入原方程得
为原方程的三个根，所以
为②的三个根. 于是
在代数中有公式
在⑤中令
并注意④式，那么①式变为
（1）当所 以
（2）
当
由此
可得（3）
当 2． 设
求
的基与维数，其中
【答案】
设
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由于为原方程的根，将由此可得
代入方程，得l —6+a+a=0.解之
，
代入原方程，可解
得
时，
则
代入方程，可求
得
这时
有
所
以
得齐次线性方程组
将系数矩阵A 用行初等变换化为简化阶梯形矩阵：
方程组的一般解为
是自由未知量，取其基础解系为是
的基，
3． 设
（1）证明：
求
【答案】（1）用数学归纳法，当n=3时，有
即①式对n=3成立.
归纳假设结论对n=k成立，即
③式两边同乘A ，并注意②式，则有
即①式对n=k+l也成立，从而得证①式成立. 由①式
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则
的极大无关组，胡
的基，且
由（6-5）知
4． 设为何值时；
（1）（2）（3）
不能由
划生表示；
可唯一由线性表示，并写出表达式；
可由线性表示，但表达式不唯一，并写出表达式.
则
对该方程组増广阵A 施以初等行变换，有
试讨论a , b
【答案】设
（1）当a=0时，
如此时方程组无解；
如果b=0，线性表出.
（2）当
有
方程组仍无解. 所以a=0, b为任意常数时，不能由
方程组有无穷多解. 其一般解为
为自由未知量，
此时可由
线性表出，但表法不唯一，且
如
5． 设V 是n 维线性空间
（1）证明：（2）证明：
X 和Y 为V 的两个子空间，并且
当且仅当Y 是X 的子空间。
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有方程组有唯一解此时可唯一由线性表示为：