2018年闽南师范大学数学与统计学院614数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设f （X ）为二阶可微函数, F （X ）为可微函数, 证明函数
满足弦振动方程
及初值条僻—, .
【答案】
所以
2． 设f （x ）在（a , b ）内可导
,
’, 求证:,
使得
且
【答案】取y>0足够大, 使得
则有
再由拉格朗日定理,
使得
联合（1）式与（2）式, 即得, 且
3． 设f 为连续函数, 证明:
（1） （2）
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【答案】（1）从所要证明等式的被积函数来看,
应作代换（2
）令由此得
4．
按定积分定义证明:
【答案】对于
和为
从而
可取
为任何正数, 只要使
, 就有
的任一分割
, 任取
, 则dx=—dt , 从而
’则dx=-dt, 于是有
相应的积分
根据定积分定义有
5． 设
, 其中
与
v （y ）为[0, 1]上连续函数
,
证明【答案】当
时,
由各项被积函数及其对x 偏导函数都连续, 所以
6．
设f （x
）对一切
证明
:【答案】
, 因为
在[0, b]上可积, 且
所以
, 当x>A时有
. 于是
因f （x ）在[0, A]上可积, 从而有界, 所以于是
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, 使得.
因当时,
有, 所以对,
当时有, 故
二、解答题
7． （1）举出一个连续函数, 它仅在已知点
（2）举出一个函数, 它仅在【答案】（1）由于函数仅在
处不可导, 其他点处可导,
进而
或
（2）由于狄利克雷函数
处可导且导数为0, 其他点不可导, 进而不可导, 依此进行, 可得函数
利克雷函数.
8． 问a 和b 为何值时, 点（1, 3）为曲线
【答案】由此得到方程组
, .
, 解得
仅在点可导.
仅在原点不可导, 其余点可导, 从而也连续, 从而
或
仅在己知点处处不可导, 不连续, 可知
仅在
仅在点不可导.
仅在
, 处可导, 其他点
不可导;
处不可导, 其余点可导, 依此进行, 可得函数
处可导, 其中D （x ）为狄
的拐点?
,
. 由（1, 3）为该曲线的拐点知,
9． 应用高斯公式计算下列曲面积分:
（1）（2）（3）
的表面, 方向取外侧;
（4）（5）【答案】（1）（2）
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其中S 为单位球面其中S 是立方体其中S 是锥面其中S 是单位球面其中S 为上半球面
.
的外侧; 的表面的外侧; 与平面z=h所围空间区域（
的外侧; 的外侧.
）