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一、解答题

1． 讨论下列无穷积分的收敛性:

（1）（4）【答案】（1）（2）（3）（4）（5

）当收敛.

当（

时, 6

）

,

故当且仅当

时

.

, 故此时

发散. 对

于收敛.

对于

收敛.

收敛. 否则, 发散.

由

于

时

.

（2） （5）

（3） （6）

由柯西判别法知, , 由柯西判别法知

, 由柯西判别法的推论2知, ,, 由柯西判别法知,

收敛. 收敛. 发散. 收敛.

,

故此时

.

,

由于

, 故当且仅当, n-m>1时, 积分

综上所述, 当且仅当

2． 讨论反常积分

【答案】当故当所以

3． 设曲面S 由方程

【答案】在球坐标变换

:

, 其参数方程为

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, 时.

的敛散性.

时, 对一切发散, 从而

有发散.

有

收敛, 又

存在, 故

所确定, 求曲面S 的面积.

之下, 曲面S 的方程

是

而收敛.

收敛,

而

发散,

时, 对一切

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通过计算易知,

由此得

由曲面的对称性, 只需求第一卦限部分的面积即可.

而此时

,

所以

故S 的面积为

绕直线

旋转所成的曲面的表面积.

则曲面的表面积为

,

并且由曲面方程知

4． 求曲线

【答案】

这是星形线, 充分考虑到对称性

5． 设f （u ）是可微函数，

【答案】故

6．

在xy 平面上求一点, 使它到三直线x=0, y=0及

, 它到x=0的距离为【答案】设所求的点为（x , y ）的距离为

它到三直线的距离平方和为

由

的距离平方和最小. , 到y=0的距离为

到

试求:

与

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得因为

,

因此

为z 的极小值点, 由实际意义知, 其为z 的最小值点, 最小值为

.

二、证明题

7． 证明:若

【答案】因为于是当

8． 按

（1）

（2） （3） 【答案】（1）

对任意

由

则当

时.

（2）因为

所以

对任意

由

得

取

则当

时,

（3）当n 为偶数时,

当n 为奇数时,

故

时,

有定义证明:

则对任一正整数k , 有

所以, 对于任给

所以

存在

N , 当

因此

时

,

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