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一、证明题

1． 用有限覆盖定理证明根的存在定理, 即设f （X ）在闭区间[a, b]上连续, 且f （a ）f （b ）<0, 则存在（a , b ）,

使得

,

, 使

得

, 它构成了[a, b]的将区间[a, b]覆盖,

有

. , 证明: •收敛. （固定）, 取适当大, 可使

. 由于, 于是有

由柯西准则知, 级数（2）因为

, 所以

而级数

收敛于

, 故

收敛.

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【答案】用反证法假设

不妨设f （x ）>0.由f （x ）在[a, b]上的连续性

,

,

均有

让取遍[a, b]可得一个开集一个开覆盖.

由有限覆盖定理, 存在H 中有限个互不相交的开集即

, 且

注意到k 是有限个, 所以f （x ）在[a, b]上每一点的函数值都同号, 这与因此存在（a , b ）, 使得 2． 若

（1）

, 级数

发散,

矛盾.

发散; （2）

【答案】（1）用柯西准则 取

所以对固定的N , 存在

趋向于

,

发散.

3． 证明:若f 在[a, b]上可积, F 在[a, b]上连续, 且除有限个点外有

【答案】对[a, b]作分割个点为部分分

点, 在每个小区

间

,

使

于是

因为f 在[a, b]上可积, 所以令

4． 设f 在x=0连续, 且对任何

（1）f 在R 上连续； （2）

【答案】（1）由由f 在x=0连续可得

.

,

有有

. 证明:

, 则有

, 使其包含等式F’（x ）=f（x ）不成立的有限

上对F （x ）使用拉格朗日中值定理, 则分别存

在

可知f （0+0） =2f（0）, 于是f （0） =0. , 并且对一切

故f 在R 上连续. （2）对整数p , q （

）有

所以

于是对任何有理数r 有上连续, 有

5． 证明:场

【答案】对空间任一点（x , y , z ）都有

故A 是有势场. 由

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. 对任何无理数, 存在有理数列. 故对任何

,

.

, 使. 由f 在R

是有势场并求其势函数.

故其势函数为:

6． 应用

（1）（2）

【答案】 （1）证法一:由于所以

另外

所以

证法二:

（2）由于

在任何[c, d]上（c ＞o ） —致收敛, 所以

另外

所以

证明:

在任何[c, d]上（c ＞o ） —致收敛,

二、解答题

7． 计算

【答案】补充平面

其中S 为曲面

被平面Z=1所截部分的外侧. 方向向上. 有

而

从而,

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