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一、计算题

1． 设a 0, a 1, a 2•••为等差数列

（1）幂级数（2）数项级数【答案】（1）因（2）考虑幂级数设

, 因

则

, 试求:

的收敛半径； 的和数.

所以收敛半径R=l.

故该幂级数收敛半径为R=2, 且收敛域为（﹣2, 2）.

从而

令x=1, 可得

所以

2． 确定下列初等函数的存在域:

（1）（3）【答案】（1）（2）由（3）故（4）故

3． 将直角坐标系下Laplace 方程

【答案】设

则

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（2）（4）

的存在域为R.

得

故

的存在域为由 由

化为极坐标下的形式.

得

得

的存在域为的存在域为的存在域为

的存在域为

类似可求

因此

4． 计算下列二重积分:

（1）（2）（3）（4）（5）（6）

【答案】（1）原式

=

（2）曲线:y=x将区域D 分为两部分D 1和D

2, 所以

（3）所以

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2

, 其中D :, 其中

, 其中

其中D :►其中D :

.

.

, 其中在D 1内

. 在D 2内

,

, 其中, _.

（

4）积分区域为D :数,

所以

从而原式=令

原式

（5）方法一

积分区域关于直线y=x对称, 所以

故

方法二

作变换x+y=u, x

—y=v, 则D 变为

于是

, 所以

（6）积分区域关于y=x对称, 所以

于是

故

5． 把重积分

其中

作为积分和的极限, 计算这个积分值.

, 并用直线网

分割这个正方形为许多小

, 则

•

•,

所以

,

D 关于x 轴对称, 而函数

’关于y 是奇函

正方形, 每一小正方形取其右顶点作为其节点.

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