2018年青岛科技大学数理学院640数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设f （x ）在[0, 1]上连续且满足
证明:
【答案】显然,
, 有
对上式从0到1积分, 得
在上式两边同乘以正数
, 得
最后一步的不等式是根据函数
2． 证明:若f 在[a, b]上连续, 且对任何
【答案】设题设矛盾. 故 3．
设
在
.
设
, 即f 在
上恒正.
且（或
异号, 由根的存在定理知, 在区间
有最大值而得到的. , 则f 在, 由题设知
上恒正或恒负. . 假如
,
那么
与. 这与
）内至少存在一点, 使得时同理可证f （x ）恒负.
有
上可微,
且对于任何
求证:对任何正整数n ,
有
其中M 是一个与x 无关的常数.
【答案】由定积分的性质及积分中值定理有
其中
又因为
在
上可微, 所以由微分中值定理可知, 存在
使得
因此
4． 设函数f 在[a, b]上可导. 证明:存在
【答案】令
连续
, 在（a , b ）内可导, 且有
故由罗尔中值定理知, 存在
, 使得
, 使得
, 由f （x ）在[a, b]上可导可知, F （x
）在[a, b]
上
, , 即
二、解答题
5． 在区间Riemann 可积性.
【答案】f
于
（1）显然知（2）f 的间断点为（3）对于
上的任意分割
上是Riemann 可积的. 证明如下:
记对应的f 的振幅为
则
当综上
在
充分小时,
上
Riemann 可积. 上, 函数
定义为
试讨论f （x ）在[0, 1]上的
6． 分别求出满足下述条件的常数a 与b :
（1）（2）（3）【答案】 （1）
（
2）
（
3）
7． 一物体在某介质中按
【答案】
其中
, .
, 故
作直线运动,
介质的阻力与速度
的平方成正比
. 计算物体由x=0
移至x=a时克服介质阻力所作的功.
8． 求不定积分
【答案】令
则
9． 在
平面上, 光滑曲线L 过（1, 0）点, 并且曲线L 上任意一点
为常数）.
处的切线斜
率与直线OP 的斜率之差等于ax （
（1）求曲线L 的方程； （2）如果L 与直线
所围成的平面图形的面积为8, 确定a
的值.
则由题设条件知
解此微分方程并
【答案】（1）设曲线L 的方程为注意到由y （1）=0可得曲线L 的方程为
（2） L 与直线
的交点为（2, 2a）, 于是
解得a=6.