2018年青岛科技大学数理学院863概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1．
设计.
【答案】由于
这就证明了
2． 设事件A ，B ，C 的概率都是
【答案】因为
上式移项即得结论.
3． 设随机向量
证明:【答案】由
满足
知
所以
是的相合估计. ，且
，证明:
独立同分布
,
证明
:
是的相合估
4． 设由
明:样本相关系数r 满足如下关系
可建立一元线性回归方程，是由回归方程得到的拟合值，证
上式也称为回归方程的决定系数. 【答案】因为|
即
，将之代入样本相关系数r 的表达式中，即有
证明完成.
5． 设
独立同分布，其共同的密度函数为
（1）证明:（2）计算
和
和
的均方误差并进行比较；
的估计中，
，故
最优.
，
都是的无偏估计；
（3）证明:在均方误差意义下，在形如【答案】 （1）先计算总体均值为. 这说明是的无偏估计. 又总体分布函数为
，
记
，则Y 的密度函数为
于是有
这表明
也是的无偏估计.
故有
又
（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于
从而
由于（3）对形如
，因此在均方误差意义下，的估计有
优于
，故
»
因此当在形如
6． 设
时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，
的估计中，
最优.
为独立随机变量序列，且
服从大数定律.
相互独立，且
服从大数定律.
，证明:
由此可得马尔可夫条件
证明:
【答案】因为由马尔可夫大数定律知
7． 若事件A 与B 互不相容，且
【答案】
8． 假设随机变量X 服从参数为2的指数分布. 证明:
在区间
上服从均匀分布.
代入函数
【答案】随机变量X 服从参数为2的指数分布, 则X 的概率密度为求得到所以当当
的分布, 关键是确定分段点. 将X 的概率密度函数的分段点同时利用函数
的图形知它的最大值是
是不可能事件, 所以
是Y 的分布函数的分段点. 时, 时, 则
下面求Y 的分布函数
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