2017年武汉大学资源与环境科学学院602高等数学(理学)考研仿真模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 求下列微分方程的通解
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）
【答案】（1）原方程为两端积分得即
，故通解为
（2）原方程可写
成
。
（3）原方程
为
即为原方程的通解。
（4）原方程可写
成
，即
（5）原方程分离变量，
得
，可写成
为
（6）原方程分离变量，得
，两端积分
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，分离变量得
，即
。 ，积分
得
，即通解
为
，
，分离变量
得，两端积分
得
，分离变量
得是原方程的通解。
，两端积分
，，即
；两端积
分
，
得
，故原方程的通解，得
可写成（7）原方程为
即
故原方程的通解为（8）原方程分离变量，得
即
故原方程的通解为（9）原方程分离变量，得
故原方程的通解为（10）原方程分离变量，得
或写成
，分离变量，得
，
或写成
，两端积分，得
, 两端积分，得
，两端积分，得
即或写成，故原方程的通解为。
2． 用微分方程表示一物理命题：某种气体的气压P 对于温度T 的变化率与气压成正比，与温度的平方成反比。
【答案】因 3． 设
【答案】在算不方便，故令
，其中f 为可微函数，求
。
与P 成正比，与T 成反比，若比例系数为k ，则有
2
。
中，由于函数f 不是以单独一个字母作为自变量，从而造成计，得
，故
则
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4． 设有一个由电阻R=10Ω、电感L=2H（亨）和电源电压E=20sin 5tV （伏）串联组成的电路. 开关K 合上后，电路中有电流通过. 求电流i 与时间t 的函数关系.
【答案】依题意，有
，即
其中，记
，则
故
于是
代入初始条件t=0, i=0, 得C=1, 故电流i 与时间t 的关系为
按波动学的习惯，可写成
5． 试求
的经过点M （0, 1）且在此点与直线
相切的积分曲线。
【答案】由于直线
在（0, 1）处的切线斜率为，依题设知，
所求积分曲线是初值问题的解。
由
再积分，
得
6． 在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初始条件:
（1）（2）（3）
【答案】（1）由（2）由
，故
（3）由
得得
，将
及
代入以上两式，得
=5，将x=0，y=5代入函数关系中，得c=-25，即
，将x=0，y=0及
。
代入以上两式，
得
积分
得
，代入x=0, y=1,
得
代入x=0
,
得
，即
有
于是所求积分曲线的方程为
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