2017年武汉大学资源与环境科学学院602高等数学(理学)考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、解答题
1． 求下列微分方程的通解
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）
【答案】（1）原方程为两端积分得即
，故通解为
（2）原方程可写
成
。
（3）原方程
为
即为原方程的通解。
（4）原方程可写
成
，即
（5）原方程分离变量，
得
，可写成
为
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，分离变量得
，即
。 ，积分
得
，即通解
为
，
，分离变量
得，两端积分
得
，分离变量
得是原方程的通解。
，两端积分
，，即
；两端积
分
，
得
，故原方程的通解
（6）原方程分离变量，得可写成（7）原方程为
即
故原方程的通解为（8）原方程分离变量，得
即
故原方程的通解为（9）原方程分离变量，得
故原方程的通解为（10）原方程分离变量，得
或写成
，两端积分，得
，分离变量，得，
或写成
，两端积分，得
, 两端积分，得
，两端积分，得
即或写成，故原方程的通解为。
2． 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解
（1）（2）（3）
【答案】（1）原方程可写成令
，
即，积分得
，
有
。
，
则原方程为，即
，代入
，分离变量，
得
并整理，得通解。
，分离变量，
得
，
积分得
。
由初始条件x=0, y=1, 得C=-1，于是所求特解为（2
）令
。
将求特解为
代入上式并整理，得通解
。
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，
有
则原方程成为
，代入初始条件x=1, y=2, 解得C=2，于是所
（3）将原方程写成，令
，整理并分离变量，得
，有，则原方程为
，积分得
故求特解为
3． 若函数
恒满足关系式
就称为k 次齐次函数，
验证k 次齐次函数满足关系式
其中f 存在一阶连续偏导数。 【答案】为简化计算，可令两边同时对t 求导，得
则上式对一切实数t 都成立。令
，得
。
4． 已知函数f （x ）满足方程
（1）求表达式f （x ） （2）求曲线的拐点
【答案】（1）特征方程
为
的通解
为可知
（2）曲线方程为
故则
令号。
当
时
，
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，代入。
并整理，得通解，以初始条件x=1, y=1定出C=1。故所
，则 ，
及
特征根
为
再
由
齐次微分方
程
得
得为了说明
是唯一的解，我们来讨论
可
知
在
当
和时的符时，
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