2017年武汉大学资源与环境科学学院602高等数学(理学)考研冲刺密押题
● 摘要
一、解答题
1． 求由方程的极值。
【答案】在原方程两边同时对X 求导得
在原方程两边同时对y 求导得
在
两式中，令
，解得
将其代入已知方程得导得
式两边对y 求导得
当
时，
，将其代入
三式中，得
则函数Z 在
处取得极小值
。
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确定的函数
，故驻点为和，式两边对x ，y 分别求
当时，，并将其代入，得
故Z 在点处取到极大值。
2． 一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴问的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程.
，切点为（z ，y ）. 依条件，切线在59轴与Y 轴上的截距分【答案】设曲线方程为y=y（x ）别为2x 与2y ，于是切线的斜率
积分得代入初始条件 3． 设二阶导数且
（1）
；（2）
是由方程。
。
，两边同时微分得
又
，则
故
4． 求函数
令其为0，解得驻点为
又闭区域
在区域
对
的偏导，得
。
在直线
上，
，则令
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，分离变量得
。
。
，即
得C=6。故曲线方程为xy=6。
所确定的函数，其中
具有
【答案】（1）由方程
。
（2）由（1）可得，
上的最大、最小值。
，并
【答案】由题意，分别求出函数
。可知，该驻点在区域D 内，且
的边界由四线段构成：
在直线在直线
上，上，
，则令，则令
，得
，得
在直线上，，则令，得
比较以上所有函数值，可知函数Z 在D 上的最大值为1，最小值为0.
5． 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解
【答案】（1
）将原方程写成此得离变量，得
代入初始条件：
积分得
两边平方，得
因而特解可表示为
（2）令入初始条
件
代入初始条件
（3）因
并由初始条件x=1,
又因x=1时，
故积分得
又因x=1时，y=0, 故再积分得
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，两端乘以
得
，
得
故有
即由分
代入初始条件：x=1, y=1，得C=±1，
于是有由于在点x=1处，y=1, 故在x=1的某邻域内y>0,
则
，原方程化为
得
从而
有
得
，故所求特解为故积分得
分离变量即
即
积分得
代
又积分
得
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