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一、选择题

1． 设A , B 均n 阶实对称矩阵，若A 与B 合同，则（ ）。

A.A 与B 有相同的特征值 B.A 与B 有相同的秩 C.A 与B 有相同的特征向量 D.A 与B 有相同的行列式 【答案】B

【解析】B 项，按定义，若存在可逆矩阵C

使故有

ACD 三项，

令

此时A 的特征值是1, 1, B 的特征值是1, 4

; |A|=1, |B|=4亦不相同.

2． 已知4

阶方阵关，若

的通解为（ ）。

A.

则有

即A 与B 合同.

则称A 与B 合同. 因为矩阵C 可逆，

是A 的特征向量，但不是B 的特征向量；

均为四维列向量，其中线性无

为任意常数，那么

B.

C.

D. 【答案】B

【解析】

由知

即于是

是的解.

同理

是导出组即

也均是 所以必

有

的解. 那么

的解，并且它们线性无关.

从

而

至少有两个线性无关的解向量，

有又因

为

因此

线性无关，

有

就是

的基础解系，根据解的结构B 项入选. 经行的初等变换变为矩阵

且

3．

设矩阵

线性无关

A.

B.

C.

D.

不能由可由可由能否由

线性相关. 则（ ）

线性表示

线性表示，但表法不惟一

线性表示，且表法惟一

线性表示不能确定

经过行的初等变换变为

是同解方程组，即

【答案】C

【解析】

则方程组

是同解方程组，

由于

线性相关且

方程组，

由

表出法惟一.

线性无关可得

线性相关，方程组

线性无关，故

有非零解，从而因此可由

有非零解，

故

也是同解线性表出，且

4．

行列式等于（ ）。

A. B. C. D. 【答案】B 【解析】

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5

． 设A 是三阶矩阵，

其特征

值是1

, 3,

-2, 相应的特

征向

量依

次为

则

A.

（

）。

若

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】由当于

有即当

的特征向量. 同理

是矩阵A

属于特征值仍是矩阵A 属于特征值

的特征向量时， 的特征向量。

是属

仍是矩阵A 属于特征值

时，P 由A 的特征向量所构成，由

A 的特征值所构成，且P

与的位置是对应

的特征向量，所以一2在对角矩阵中应当是第2列.

一致的. 现在，矩阵A 的特征值是1, 3，_2，故对角矩阵应当由1，3, _2构成，又由于

6． 设A ，B , C 均为n 阶矩阵，若AB=C，且B 可逆，则（ ）。

A. 矩阵

C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 B.

矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C. 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价

D. 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价 【答案】B

【解析】把矩阵A , C 列分块如下：示，同时由于B 可逆，即

由于AB=C, 则可知

得到矩阵C 的列向量组可用矩阵A 的列向量组线性表

同理可知，矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，

故矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价.