2017年大连海洋大学海洋科学601高等数学Ⅰ之概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设总体
【答案】由于总体均方误差为
将上式对a 求导并令其为0, 可以得到当
时，
最小. 且
这就证明了在均方误差准则下存在一个优于的估计. 这也说明，有偏估计有时不比无偏估计差.
2． 若P （A ）=1，证明：对任一事件B ，有P （AB ）=P（B ）.
【答案】因为 3． 若
为从分布族
为充分统计量.
【答案】样本X 的联合密度函数为
由因子分解定理知, 4． 设
是总体
的简单随机样本，
记
（I ）证明T
是（II ）当【答案】（I ）
的无偏估计量； 时，求DT 。
是其样本，θ的矩估计和最大似然估计都是，它也是θ的相合
下存在优于的估计. 现考虑形如
的估计类，其
所以
估计和无偏估计，试证明在均方误差准则
所以由单调性知从而得
又因为
所以有P （B ）-P （AB ）=0，即得P （AB ）=P（B ）.
中抽取的简单样本,
试证
为充分统计量.
故T
是的无偏估计量。（II
）当
时，
5． 设以下所涉及的数学期望均存在, 试证:
（1）（2）（3）
【答案】（1）由（2）因为（3）
6． 设随机变量\服从柯西分布, 其密度函数为
试证:
当
时, 有
【答案】对任意的即
结论得证.
又由（1）知
知
所以有
7． 对任意的事件A ，B ，C ，证明：
（1）（2）【答案】⑴
（2）因为
所以
8． 设随机变量
【答案】因为
中任意两个的相关系数都是p , 试证:
所以
由此得
是来自该总体的一个样本，
其中为的任一凸
9． 设总体X 的均值为方差为
线性无偏估计量. 证明：与T 的相关系数为
【答案】由于于是
而
故有
从而
10．设随机变量
相互独立, 且
试证:
【答案】而事件
从而该事件的概率为
的联合密度为
为的线性无偏估计量，故
二、计算题
11．设随机变量X 与Y 相互独立, 其联合分布列为
表