2017年大连海洋大学生物医学工程601高等数学Ⅰ之概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设计.
【答案】由于
这就证明了
，是的相合估计.
独立同分布，
，证明：
是的相合估
2． 设随机变量X 的密度函数p （x ）关于c 点是对称的，且E （X ）存在，试证：
（1）这个对称中心c 既是均值又是中位数，即（2）如果c=0，则
因此
所以得
又由
所以
（2）当c=0时，
又由
由此得结论.
由此得
【答案】（1）由p （x ）关于c 点对称可知：
3． 设是来自的样本, 为其次序统计量, 令
证明【答案】令作变换
相互独立.
则
的联合密度函数为
其中
函数为
该联合密度函数为可分离变量, 因
而
相互独立,
且
其雅可比行列式绝对值为
, 联合密度
4． 口袋中有a 个白球、b 个黑球和n 个红球，现从中一个一个不返回地取球. 试证白球比黑球出现得早的概率为a/（a+b），与n 无关.
【答案】记事件A 为“第一次取出白球”，B 为“第一次取出黑球”，C 为“第一次取出红球容易B ，C 互不相容，看出，事件A ，且
记
（2）设其中
以下对n 用归纳法：
（1）当n=0时，则“白球比黑球出现得早”意味着：第一次就取出白球，所以有
则
代入可得
由归纳法知结论成立.
5． 设
是来自
的样本，证明
为
没有无偏估计.
又设
为“有n 个红球时，白球比黑球出现得早”，
【答案】（反证法）假设的无偏估计，则
由上式可知，等式的左边关于处处可导，而等式的右边在=0处不存在导数. 因此，假不成立，即
没有无偏估计.
6． 设时,
为一独立同分布的随机变量序列, 已知
近似服从正态分布, 并指出此正态分布的参数.
试证明:当n 充分大
【答案】
因为为独立同分布的随机变量序列,
所以也是独立同分布的随机变量序列.
根据林德伯格-莱维中心极限定理知, 近似服从正态分布, 其参数为
7． 证明:容量为2的样本
【答案】
的方差为
8． [1]如果
试证: （1）（2）[2]如果
【答案】（1
）因为
时
即
（2）先证
明
成立, 进一步由
. 对任意
的
成立, 对取定的M , 存在N , 当
这时有
从而有
由
的任意性知
同理可证
由上面（1）得 可得
,
所以又有
取M 足够大（譬
如
时, 有
成立. ）, 使
有
是直线上的连续函数, 试证:
,
故当
有