2017年大连海洋大学生物医学工程601高等数学Ⅰ之概率论与数理统计考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 对任意的事件A ，B ，C ，证明：
（1）（2）【答案】⑴
（2）因为
所以
2． 设
为自由度为n 的t 变量, 试证:
的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.
, 其中
, 且X 与Y
, 考察其极限知
由特征函数性质知
从而由
, 再按依概率收敛性知
这就证明了
的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.
独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且
【答案】己知则
对任意的
由切比雪夫不等式得
即
, 结论得证.
【答案】据自由度为n 的t 变量的构造知相互独立. 由Y 的特征函数为
, 劼的特征函数为
3． 设随机变量序列证:
试
4． 设随机变量X 服从负二项分布，其概率分布为
证明其成功概率p 共轭先验分布族为贝塔分布族. 【答案】取成功概率p 先验分布为
则
与的联合分布为
所以，
即成功概率p 的后验分布为分布族.
5． 设随机向量（X , Y ）满足
证明:【答案】由所以
故成功概率p 的共轭先验分布族为贝塔
6． 设
是来自
的样本,
为其次序统计量, 令
证明【答案】令
相互独立.
则
的联合密度函数为
作变换
其中
函数为
该联合密度函数为可分离变量, 因
而
7． 设
，试证
：
相互独立,
且
其雅可比行列式绝对值为
, 联合密度
【答案】因为X 的密度函数为
又因为Y=In X 的可能取值范围为
单调增函数，其反函数为
且
是区间
上的严格
所以Y 的密度函数为
这正是的密度函数.
试
8． 设随机变量X 与V 相互独立, 且证:
相互独立, 且
【答案】因为X 与Y 的密度函数分别为
下求（U , V ）的联合密度函数, 因为可比行列式为
所以, 当
时, 有
的反函数为
, 且变换的雅