2017年大连海洋大学生物医学工程601高等数学Ⅰ之概率论与数理统计考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 若P （A ）=1，证明：对任一事件B ，有P （AB ）=P（B ）.
【答案】因为
所以由单调性知
从而得
又因为
所以有P （B ）-P （AB ）=0，即得P （AB ）=P（B ）.
2． 令X （n ，p ）表本服从二项分布b （n ，p ）的随机变量，试证明
：
【答案】
3． 证明:若与
【答案】由F 变量的构造知立, 因此F 变量r 阶矩为
, 其中. 由
且v 与W 相互独
容易算得
则当
时有
由此写出E （F ）
从而可得当r=l时, 只要
就有
在其他场合, 不存在.
当r=2时, 只要
就有
4． 证明公式
其中
【答案】为证明此公式, 可以对积分部分施行分部积分法, 更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导, 证明其导函数相等.
注意到将等式右边的求导可给出_
而对
k=0.
对
其和前后项之间正好相互抵消, 最后仅留下一项,
也为明了两者导函数相等, 并注意到两者在p=l时都为0, 等式得证.
5． 设是来自二点分布b （1, p ）的一个样本，
（1）寻求的无偏估计； （2）寻求p （1-p ）的无偏估计； （3）证明1/p的无偏估计不存在. 【答案】（1）是
的一个直观估计，但不是的无偏估计，这是因为
由此可见（2）
是的无偏估计.
是p （1-P ）的直观估计，但不是p （1-P ）的无偏估计，这是因为
由此可见
（3）反证法，倘若
是p （1-p ）的一个无偏估计.
是1/p的无偏估计，则有
或者
上式是p 的n+1次方程，它最多有n+1个实根，而p 可在（0, 1）取无穷多个值，所以不论取什么形式都不能使上述方程在0＜p ＜l 上成立，这表明1/p的无偏估计不存在.
这就证
6． 设总体为如下离散型分布
表
是来自该总体的样本.
（1）证明次序统计量（（2）以必有
于是, 对任一组并
满足
中有个
有
表示
【答案】（1）给定（
）是充分统计量；
中等于的个数, 证明（
）的取值
设
）是充分统计量.
中有个
可以为0, 但
该条件分布不依赖于未知参数, 因而次序统计量（（2）因为给出（这只要通过令即可实现（这里默认因此,
是充分统计量.
列联表：
1与
,
）,
是一一对应的,
）就可算得（
, 反之, 给出）
,
,
也可构造出（
, ）
）是充分统计量.
7． 设按有无特性A 与B 将n 个样品分成四类，组成
表
其中n=a+b+c+d，试证明此列联表独立性检验的统计量可以表示成
【答案】检验的假设问题为
与B 是独立的. 统计表示如下：
在原假设成立下，我们计算诸参数的最大似然估计，为
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