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一、选择题

1． 设线性方程组

的解都是线性方程组

的解空间分别为

的解，则（ ）。

则

所以

即证秩

2． 设n （n ≥3）阶矩阵

【答案】（C ） 【解析】设

若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.

故

但当a=l时，

3． 齐次线性方程组

【答案】B 【解析】

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵

【答案】C

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使AB=0, 则（ ）

.

【解析】若当C.

时，

由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.

由AB=0，左乘

可得

矛盾，从而否定A ，故选

4． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，

记

A. B. C. D.

【答案】B

则（ ）.

【解析】由已知，有

于是

5．

设

是3维向量空

间的过渡矩阵为（ ）

.

到基

的一组基, 则由

基

【答案】（A ）

二、分析计算题

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6． 计算n 阶行列式

其中

【答案】按第1行展开得

由①式得

7． 证明：酉矩阵的特征根的模为1.

【答案】设A 是一个酉矩阵，于是

因为

8． 设V 是数域P 上线性空间，证：是零函数时，

或是零函数.

皆不为零，则V 中有向量

于是

类似可得矛盾. 证法2若

皆不为零，则故

但是

矛盾.

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是A 的一个特征根，是对应于的一个特征向量，即

所以即A 的特征根的模为1.

是V 上的线性函数，V 到P 的函数使

求

【答案】证法1反证法. 若

于是

是V 的真子空间，于是

但