2017年浙江师范大学教师教育学院904数学分析与高等代数[专业硕士]之高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
分别为A ，B 的伴随矩阵，
2． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
【答案】B
【解析】故
但当a=l时，
3． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
4． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于故 5．
设
是
因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
到基
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
的基础解系. 又由是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
【答案】（A ）
二、分析计算题
6． 证明：
如果向量组
线性表出.
【答案】由题设有不全为零的
数
现来证
且有
乘以
则得
即可由
7． 设
线性表出.
分别是齐次线性方程组
的解空间. 证明：数域K 上n 元行空间【答案】证法I 对于
由于
显然是
即
其系数矩阵的秩是的一基础解
系）：又显然证法II 取因此，又由
与
中任意向量
则得又显然必有
故
故
线性无关，为
的一基，因此，可表为
故其解空间
的维数是1. 于是例如，令
便得的一基（即（8）
的n-l 维子空间，且有基
与题设
用反证法，若
由
使
不全为零，故将
将
移项，得不全为零，
两端同
线性无关，
而
线性相关，
则向量
可以由
线性无关矛盾.
故