当前位置：问答库＞考研试题

一、选择题

1． 设

均为n 维列向量，A 是矩阵，下列选项正确的是（ ）. A. 若线性相关，则线性相关. B. 若线性相关，则线性无关. C. 若线性无关，则线性相关. D. 若线性无关，则

线性无关.

【答案】A 【解析】因为当线性无关时，若秩

则

线性无关，

否则线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

有

由上述知

线性相关，所以

于是

因此线性相关，故选A.

2． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有

B （E-A ）=E.

又C （E-A ）=A，故

（B-C ）（E-A ）=E-A.

结合E-A 可逆，得B-C=E.

3． 设

则A 与B （ ）.

A. 合同且相似 B. 合同但不相似

.

）

C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵

其中

故A 〜B. 再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

且由①式得

使

因此A 与B 合同. 4． 设

又

则（ ）•

【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得

即

5． 设线性方程组

的解都是线性方程组

的解空间分别为

的解，则（ ）。

则

所以

即证秩

由②有

为空间的两组基，且

【答案】（C ） 【解析】设

二、分析计算题

6． 设A ，B 是数域K 上的n 阶方阵，X 是未知量组AX=0和BX=0分别有1，m 个线性无关的解向量，这里

（2）如果l+m>n, 那么（A+B）X=0必有非零解；

所构成的矩阵. 已知齐次线性方程证明：

（1）方程组（AB ）X=0至少有max （1，m ）个线性无关的解向量； （3）如果AX=0和BX=0无公共的非零解向量，且l+m=n, 那么表示成

这里

，分别是AX=0和BX=0的解向量. ）

而

因此齐次方

则

据题设，

又

7． 设

（1）（2

）秩秩【答案】（1）（2）由于

所

是k 个实对称方阵，

都是幂等方阵

秩（2）

（1）设秩

是实对称阵，∴存在正交阵T , 使

再令

而且

从而有

所证结论成立. 证明:下述二条件等价：

所以

【答案】（1）由题设，

（2）因

所以

中任一向量

郎可惟一地

所以另一方面，方程组（AB ）x=0有n-rank （AB ）个线性无关的解向量. 故所证结论成立. 程组（A+B）X=0必有非零解.

（3）设AX=0和BX=0的解空间分别为

与

的和是直和，故

但

其中

再用

左乘，T 右乘②式两边，得