2017年郑州大学联合培养单位洛阳师范学院915高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设％是线性方程组的一个解，
证明:线性方程组的任一个解都可表成
其中
可表
成
令
2． 设n 阶方阵主对角上元素为1和0.
【答案】由于因子只能由
于是A 相似于
故A 满足构成.
故存在可逆方阵使
令即由此得又由
可得
从而
则由
得
于是由上同理可得
其中则由
可逆且
再令
因而A 的最小多项式整除
的初等
且
证明：存在可逆方阵P ，使
与
皆为对角矩阵且
则
【答案】线性方程组的任一
解
是它的导出方程组的一个基础解系，令
，，及（6）（7）（8）得
3． 求
这里是对所有的n 级排列求和
经一系列的对换都可以化为自然排列
的奇偶性相同，因而
且所作对换次
【答案】由任意n 级排列数的奇偶性与排列
这里注意到n 级排列奇偶排列各占一半.
4． 在实数域上分解以下多项式：
【答案】但因为
故
为实数且
故为
当n 为偶数时，
在实数域上的分解为
则
则
为实数域上的不可约多项式. 于是当n 为奇数时，在实数域上的分解
且
于是得
此即g （x ）在实数域上的分解.
5． 设
①若②若
【答案】①反证法. 设若
为n 阶实方阵. 证明：
则A 的列向量组
线性相关（请留意，这里用到了后使
即有
，故存在不全为0
的实数面才讲到的一些概念和结论）
不妨设则由上第一个等式得
从而②令
与假设矛盾. 故
则是x 的实系数多项式，从而当时由假设得
且由①知，对[0, 1]中任何实数x 都有设若
即
但显然以
特别地，
于是由连续函数性质知，在
[0, 1]中有x 。使 矛盾.
因此必
6． 证明：第二类正交变换一定以一1作为它的一个特征值.
【答案】设
是n 维欧氏空间的一个第二类正交变换。那么
所以t 一定是一个奇数，
的行列式等于-1. 如上题有
以-1为特征值.
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