2017年山西师范大学数学与计算机科学学院619数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 若对任何充分小的
则在
且
上连续. 能否由此推出f 在内不连续，则必有某一点
于是
内连续.
是f 的间断点，令
是f 在区间
上的
【答案】能. 用反证法. 假如f 在
一个间断点. 这与题设矛盾，故f 在内连续.
2． 证明：函数在区间上一致连续的充要条件是：
只要
【答案】因为
只要
在上一致连续，所以
，
就有
从而
用反证法. 函数
在上不一致连续可表述为：
尽管
应地存
在
满
足
矛盾.
3． 设函数f 在(a , b ) 上连续，且
【答案】在(a , b )
内任取一点
使得
同理，存在
时有
使得当
时，有
由f 在(a , b ) 上连续可知，f 在区间在
上有最小值点
即存在
上连续，由闭区间连续函数的最值定理知，f
对一切
都有
由式①，②，③知，f 在(a , b ) 内能取得最小值.
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就有
对上述
由
此即为
但
显然
，
取
可知
相但
证明f 在
因为
取
内能取到最小值.
则存在
，
4． 设
求证：【答案】
在
由
且
上一致连续.
推知
使得当
时，有
又由
推知使得当时，有
所以
在
上一致连续，
于是
另一方面，
因为函数
使得
这样，当
①若②若③若或
(一
. 由⑴式得，由(2) 式得，
则有
上一致连续.
且
时
由(3) 式知根据定义，即得在
二、解答题
5． 已知
【答案】首先证明
令
代入①的左端得
故①成立. 又因为
根据迫敛性可知，
所以函数
在原点
处连续.
6． 求下列函数在x=l处的泰勒展开式：
【答案】
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试讨论函数，在原点(0, 0) 处是否连续？
所以f (x ) 在x= 1处的泰勒展开式为
(2) 因
所以
(3) 因
而这
所以
7． 已知
【答案】因为
8． 设
其中
为由方程
得
听确定的隐函数，求
及
其中
则
在点x=a的某邻域内连续，求
在
处的幂级数展开式为
【答案】由方程
因
故
9． 一物体在某介质中按移至
【答案】
其中
故
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作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比. 计算物体由
时克服介质阻力所作的功。