2018年上海师范大学数理学院651数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设f 为连续函数, 证明:
（1）（2）
’则dx=-dt, 于是有
（2）令由此得
2． 证明:（1）
【答案】（1）当
时,
（2）
. 当
时, 令|
则
可知（2）当
时
于是, 当
故
时
当
时,
而
, 则dx=—dt , 从而
【答案】（1）从所要证明等式的被积函数来看, 应作代换
故由迫敛性知
3． 利用柯西收敛准则证明下列数列收敛:
（1）（2）【答案】对
,
其中
.
, 由于（不妨设m>n）
而（2）对
, 所以存在正整数N , 当n>N时有
. 即数列{Xn }收敛.
, 由于（不妨设m>n）
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. 且;
,
于是当m>n>N时有
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取
, 则当m>n>N时有
, 所以数列{Xn }
收敛.
二、解答题
4
． 对于函数
（1）证明:（2）说明点【答案】（1）可求得
不存在； 不是
的可去间断点.
由于
（2
）由上面（1
）可知,
5．
设函数, 的周期为
, 且
试利用, 的傅里叶展开计算
的和数.
【答案】傅里叶系数
由于f （x ）在
上连续, 由收敛定理知对
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不存在.
是
的跳跃间断点, 不是
的可去间断点.
, 有
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在端点x=0和令
6． 设
【答案】因为
, 有
处, 其傅里叶级数收敛于
, 故' ,
.
求
所以由链式法则得到
最后以 7． 求
【答案】由
在又由积分
由可微性定理, 有
在
上收敛.
代入即可. （已知
,
）.
及
的收敛性知,
及的收敛性知, 上一致收敛.
即
解此常微分方程可得
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