2018年深圳大学数学与计算科学学院716数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设（f x ）
满足
则f
在在
上恒等于0.
上连续. 由最小最大值定理知, f （x ）
现再
由
为最
上的最大值为M , 最小值为m , 并且
由费马定理
知
为f （x ）的一个严格极小值. 这与
, 其中g （x ）为任一函数. 证明:若
,
【答案】反证法. 因f （x ）存在二阶导数, 故f （x ）在
上存在最大值和最小值. 设f （x ）在,
因
得
大值矛盾, 故M=0.同理可证m=0.
所以在
2． 试用有限覆盖定理证明聚点定理.
,
故
证M=m=0.假设
. 于
是
于是上
【答案】设S 是实轴上的一个有界无限点集,
并且
都不是S 的聚点,
于是存在正数使得
是
盖, 设为
假设S 没有聚点,
则任意
的一个有限覆
中
中只含有S 中有穷多个点.
而开区间集
的一个开覆盖. 由有限覆盖定理知,
存在它们也是S 的一个覆盖. 因为每一个
只含有S 中有穷多个点, 故S 是一个有限点集. 这与题设矛盾. 故实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点.
3． 证明:若函数f 和g 均在区间I 上可导, 且相差某一常数, 即
【答案】令数,
即
4． 设f :是否必为闭集?
【答案】不一定, 反例: （1）对于连续函数（2）对于连续函数
|为开集, 但f （A ） = [0, 1）不是开集.
为开集, 但f （B ） = （0, 1）不是闭集.
为连续函数
. 亦即
为任意开集
（c 为某一常数）.
' 为任意闭集, 试问, f （A ）是否必为开集?f （B ）
（c 为某一常数）. , 则在I 上有
可知h （x ）为I 上的常量函
则在区间I 上f （x ）与g （x ）只
5． 求证:
（1）若（2）若
,,
则,
则
, 所以对任给定
, 存在m , 当n>m时, 便有
于是,
对
;
【答案】（1
）因为有
注意到, 当m 取定时
,
便是一个有限数, 再取N>m, 使得当n>N时, 有
这样, 当n>N时, 有
从而（2）因为
对
应用第（1）小题结论, 即得
6． 证明定理并求下列幂级数的收敛半径:
（1）（2）
【答案】对任意的x ,
据定理推论2可得:
当当
时, 级数时
收敛, 从而级数r 从而可得级数时, 收敛半径
时, 则若
时.
所以, 故可知K=0. 故收敛半径
收敛.
发散.
从而（i ）当（iii
）当（1）因
（ii ）当p=0时, 对任意的2均确下面求两幂级数的收敛半径.
（2）因
7． 求证:
（1）（2）序列【答案】（1）令
是最小值点
（2）显然序列
;
故收敛半径R=l.
的极限存在.
, 则有
存在, 只要肯定序列
有上界即可.
, 且
调递增, 为了证明极限
为此利用第（1）小题, 有
8． 设
为单调数列. 证明:若,
则
时
,
假设,
使综上, 若
无界,
则
存在聚点, 则必是惟一的, 且为
中含有无穷多个中只能含有即任给
按上确界定义知有聚点, 必惟一, 恰为
的确界.
.
令
,
则当
【答案】
设是一个单调递增数列.
假设,
于是
是它的两个不相等的聚点,
不妨设
中的点,
设
中有穷多个点, 这与是聚点矛盾. 因此, 若
0, 按聚点的定义
,
存在聚点, 则必是惟一的.
存在正整数N , 当n>N时,
有界. 对任给的
, 的确界.
, 于是小于M 的只有, 由聚点定义,
必存在
有限项, 因此不可能存在聚点, 这与已知题设矛盾,
故