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一、证明题

1． 证明下列结论:

（1）设函数列对收敛, 则

（2）设散, 则

在[a, b]上非一致收敛. 【答案】（1）由已知令单调, 所以

由M 判别法知级数（2）假设及

由于

有

都在[a, b]上连续, 令

对上式取极限得

对任意正整数p 都成立, 由柯西收敛准则知收敛.

2． 设f 为

收敛, 矛盾. 故

在[a, b]上非一致

和,

则由

.

在[a, b]上绝对收敛且一致收敛.

在[a, b]上一致收敛, 则

, 存在正整数N , 当n>N时, 对任意正整数p

都收敛.

知

收敛.

由

在[a, b]上

中的每一项

都是[a, b]上的单调函数. 若

和

都绝

在[a, b]上绝对收敛且一致收敛;

都在[a, b]上连续, 级数

在[a, b]上处处收敛, 而在x=b处发

上的连续减函数, ; 又设

证明{an }为收敛数列. 【答案】因f （x ）为

内的连续函数, 所以

因此, 数列{an }有下界, 又因

可见{an }为递减数列, 由单调有界定理知{an }收敛.

3． 设悬链方程为A （t ）.

该曲边梯形绕x 轴一周所得旋转体体积、侧面积和x=t处的截面面积分别记为

证明（:1）

【答案】（1）由弧长公式得

由定积分的几何意义可得

（2）旋转体体积为

侧面积为

所以

（2）

（3）

它在

上的一段弧长和曲边梯形的面积分别记为:s （t ）、

（3）x=t处的截面面积为 所以

4． 设f （x ）在[0, 1]上连续，且收敛.

【答案】对任意的存在使得当从而

在[0, 1]上处处收敛，证明：该级数在[0, 1]上绝对且一致

收敛，所以

，因为从而

，

由于f （x ）在[0, 1]上连续，所以f （x ）在[0, 1]上连续. 由连续函数在闭区间的性质可知，

使f （x 0）为f （x ）在[0, 1]上的最大值，从而存在时

，

由于

收敛，故该级数在[0, 1]上绝对且一致收敛.

二、解答题

5． 设

试证:【答案】

其中

因为

.

, 代入①式, 得

在

6． 试确定级数你的结论.

【答案】由

所以当x>0时级数为

由于

而

所以级数的一般项在

, 有

而因因为敛,

所以

在

上一致收敛, 从而

在,

,

在上可微, 因此在点x 0可微.

在

-收敛（利用比式判别法）, 故

上连续, 所以

' ,

当

在

时有

内不一致收敛于0, 故级数

使得当

在

在时有上一致收敛.

上连续, 从而在点x 0连续.

,

而

收

内不一致收敛

.

,

收敛, 当x<0时发散, 当x=0时级数

发散, 所以级数的收敛域

的收敛域. 又问:该级数在收敛域内是否一致收敛? 是否连续? 是否可微? 证明

单调递减.

在亦在

上一阶可微, 且

上单调递减.

在

上单调递减,

由点x 0的任意性可知

7． 求由曲线

与直线

内连续、可微. 所围图形的面积.

【答案】该平面图形如图所示. 所围图形的面积为