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一、证明题

1． 设

【答案】

下证

是数列

（反证法）. 假设x 0不是数列因

为

对

, 则一定

有

矛盾. 于是必有

此

, 是数列的一个聚点.

2． 按定义证明:

（1）（2）

（3）

（4）（5）

【答案】（1）由于

故对任意的（2）不妨设

只要取. 则

对任意的

只要取

则当

时, 有

（3）

由于

, 则当

时,

这就证明了:

‘试证:数列的一个聚点.

不含有数列

, 所以存在自然数来说,

或者

N ,

当

时,

有

|

这是因为

于

是

即

.

不妨设. 这

与

的聚点. 矛盾. 因

或者

的任意一项. 这里

的聚点, 则存在

的聚点全体恰为闭区间

如若不然, 则

有

这说明B 不可能是数列

对任意的

（4）由于

只要取则当

对于任意的

时, 有只要取

,

故

则当

. 时

（

5）因为令

由得对于任给取则当

时

, 有

故

二、解答题

3． 设n 是平面区域D 的正向边界线C 的外法线, 则

【答案】由Green 公式有

4． 讨论下列各函数列

（a ）（b ）（1

）

（2）

（3）

【答案】 （1）设

则

所以（b ）因为的结论. 又

（2） （a ）

及

在[0, b]上均一致收敛.

在[0, b]上一致收敛, 且每一项均连续, 故在[0, b]上一致收敛, 且每一项连续, 故

而

在所定义的区间上:

. 与的一致收敛性；

是否有定理的条件与结论

.

满足定理的条件, 进而有定理

满足定理的条件及结论.

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故

在[0, 1]上有间断点, 故

（b ）因定理的结论.

（3）

（a ）

, 故

故

所以又（b ）由于在[0, 1]上连续, 故

及

. 易求得故

在

处取得[0, 1]上的最大值

在[0

, 1]上不一致收敛

.

在[0, 1]上不一致收敛.

具有定理的条件与结论.

由于

, 从而

也不具有

不具有定理的条件. 又

即

在[0, 1]上一致收敛, 且每一项均连续,

所以

在[0, 1]上一致收敛. 又g

（x ）

在[0, 1]

上不一致收敛,

故

在[0,

1]上不一致收敛.

不满足定理的条件. 又

的每一项在[0, 1]上连续, 但g （x ）在[0, 1]上不连续, 故

在[0, 1]上均不一致收敛, 故具有定理的结论, 又有

及

5． 据理回

【答案】

（1）何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质？

（2）对于可积函数, 若“所有下和（或上和）都相等”,

是否仍有（2）的结论？

答:（1）常量函数是具有“任意下和等于任意上和”的惟一函数. 事实上, 常量函数显然具有此性质, 反之, 设f （x ）具有此性质. 考虑分割T :

, 有

又S （T ）=s（T ）, 所以M （b —a ）=m（b —a ）, 得M=m, 故f （x ）=常数. （2）不成立例如 6． 设

求直线

和抛物线

所围图形绕直线

所以

旋转而成的旋转体体积.

在[0, 1]上

,

都有s （T ）=0, 但, f （x ）不是常数.

在x=0处不连续, 进而不可微, 故

不具有定理13. 10, 13. 11的结论.

【答案】旋转体体积公式为