2017年曲阜师范大学数学科学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 试验证:以下给出的两个不同的联合密度函数, 它们有相同的边际密度函数
.
【答案】因为当
时, 有
又因为当0 所以 2． 设随机向量（ 令 证明: 两两不相关的充要条件为 则 同理可得 由此得必要性:若由此得 第 2 页，共 42 页 有相同的边际密度函数. ）间的相关系数分别为 且 【答案】充分性:若 两两不相关. 两两不相关, 则由上面的推导可知 3． 用概率论的方法证明: 【答案】设 为独立同分布的随机变量序列, 其共同分布为参数 服从参数 的泊松分布 故 又由泊松分布的可加性知, 理知 的泊松分布. 由林德伯格-莱维中心极限定 4． 证明:若 则对 有 并由此写出 与 其 中 【答案】由t 变量的结构知, t 变量可表示 为 且u 与v 独立, 从而有 由于 将两者代回可知, 在 时, 若r 为奇数, 则 若r 为偶数, 则 证明完成. 进一步, 当r=l时 , 时, 5． 设 （此时要求服从多项分布 （此时要 求否则方差不存在）. 其概率函数为： 其中即 第 3 页，共 42 页 否则均值不存在）, 当r=2 为参数，若的先验分布为Dirichlet 分布， 其中 ，i=l, ……k , . 记 并把这一分布记作 . 证明：的后验 分布为Dirichlet 分布 【答案】因为的后验概率函数为 所以的后验分布服从Dirichlet 分布 6． 证明:若与 【答案】由F 变量的构造知立, 因此F 变量r 阶矩为 , 其中. 由 且v 与W 相互独 容易算得 则当 时有 由此写出E （F ） ，其中 从而可得当r=l时, 只要 就有 在其他场合, 不存在. 当r=2时, 只要 就有 7． 若 【答案】因为 证明 ： 所以得P （AB ）=P（B ）. 由此得 第 4 页，共 42 页
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