2017年曲阜师范大学数学科学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设总体X 的分布函数为
【答案】设
经验分布函数为
试证
是取自总体分布函数为
的样本, 则经验分布函数为
若令于是
又
可写为
, 故有
2． 若P （A ）=1，证明：对任一事件B ，有P （AB ）=P（B ）.
【答案】因为
所以由单调性知
从而得
又因为
所以有P （B ）-P （AB ）=0，即得P （AB ）=P（B ）.
3． 设0 【答案】由条件 4． 设 为独立同分布的随机变量序列, 方差存在, 令 , 证明:则 服从大数定律. 对任意的 因而 证明有 第 2 页，共 40 页 则是独立同分布的随机变量, 且 试证：A 与B 独立. 得 又设, 有 再由上题即得结论. 为一列常数, 如果存在 常数c>0, 使得对一切n 有 【答案】不妨设 所以由马尔可夫大数定律知 服从大数定律. 5． 设连续随机变量X 的密度函数P （X ）关于c 点是对称的，证明：其分布函数F （x ）有F （c-x ）=1-F（c+x） ， 由 对上式右端积分作变量变换y=c-t，则 再对上式右端积分作变量变换z=c+y，则 结论得证. 对称分布函数的这个性质可用图表示： 【答案】由p （x ）关于c 点是对称的，知 图 6． 设总体的概率函数p （x ; θ）的费希尔信息量存在，若二阶导数证明费希尔信息量 【答案】记 则 所以 另一方面， 第 3 页，共 40 页 对一切的存在， 这就证明了 , 7． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布则 【答案】二项分布因为而 8． 设 是来自泊松分布 的样本, 证明 是充分统计量. 有 的特征函数为, 所以当 时, 则 正是泊松分布的特征函数, 故得证. 其中 【答案】由泊松分布性质知, 在给定T=t后, 对任意的 该条件分布与无关, 因而 是充分统计量. 二、计算题 9． 某地区18岁女青年的血压X （收缩压，以mm-Hg 计）服从女青年的血压在100至120的可能性有多大？ 【答案】 其中 是用内插法得到的. 10．掷一颗均匀的骰子2次, 其最小点数记为X , 求E （X ）. 【答案】X 的分布列为 第 4 页，共 40 页 试求该地区18岁