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一、证明题

1． 设二维随机向量（X , Y ）服从二维正态分布, 且

证明:对任意正常数a , b 有

【答案】记

则

由条件知p<0, 所以

由此得

令

则

所以

其中

又由

知

这就完成不等式的证明. 2． 设变量序列

为独立同分布的随机变量序列, 其方差有限, 且Xn 不恒为常数. 如果不服从大数定律.

则

由此得

倘若

服从大数定律, 则对任意的

有

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, 试证:随机

【答案】

于是, 当n 充分大时, 有

记

则

由的任意性,

不妨取

咱矛盾, 所以

3． 设

是来自

则当n 充分大时,

有不服从大数定律. 的样本,

是来自

的样本, 两总体独立.c , d

,

这与前面推出的

, 由此得

是任意两个不为0的常数, 证明

其中

【答案】由条件有

且

相互独立, 故

于是

,

与

分别是两个样本方差.

4 设T 是g ，．（θ）的UMVUE , 是g （θ）的另一个无偏估计证明：若

【答案】因为T 是g （θ）的UMVUE ，即

且

的无偏估计，故其差

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，则这说明

是0的无偏估计，

由判断准则知

即

, 且X 与Y 独立,

则

的特征函数, 由唯一性定理知

则

5． 试用特征函数的方法证明/分布的可加性:若随机变量

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是

6． 证明

：

【答案】不妨设另一方面，还有

分布

综合上述两方面，可得

7． 若事件A 与B 互不相容，且

证明：

【答案】

8． 设X 为非负连续随机变量，若

（1）（2）

存在，试证明：

【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.利

用

得

（2）因为X 为非负连续随机变量，所以

也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得

令

则

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