当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． [1]设间为

[2]某商店某种商品的月销售量服从泊松分布，为合理进货，必须了解销售情况. 现记录了该商店过去的一些销售量，数据如下表：

表

试求平均月销售量的置信水平为0.95的置信区间.

【答案】[1]由中心极限定理知，当样本量n 较大时，样本

均

，此可作为枢轴量，对给定利用标准正态分布的

括号里的事件等价于

因而得

其左侧的二次多项式二次项系数为正，故二次曲线开口向上，而其判别式

故此二次曲线与A 轴有两个交点，记为可表示为

这就证明了的近似

置信区间为

事实上，上述近似区间是在n 比较大时使用的，此时有

第 2 页，共 41 页

是来自泊松分布P （λ）的样本，证明：当样本量n 较大时，的近似置信区

，因

而

分位数

可得

则有，

其中

于是，的近似[2]平均月销售量

置信区间可进一步简化为

此处间为

若用较为精确的近似公式，所得置信区间为[11.0392, 12.9992], 二者相不大.

2． 设

是来自两参数指数分布

的样本, 证明（

）是充分统计量.

较大，利用题[1]的结果，平均月销售量的近似0.95置信区

【答案】由已知, 样本联合密度函数为

令 3． 设

是总体

的简单随机样本，

记

（I ）证明T

是（II ）当【答案】（I ）

的无偏估计量； 时，求DT 。

故T

是

的无偏估计量。（II

）当

第 3 页，共 41 页

, 由因子分解定理, 是的充分统计量•

时，

4． 设不是有效估计.

【答案】设

求的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，即它是0的任一无偏估计，则

即

将（*）式两端对求导，并注意到

有

这说明

由此可以得到则

从而，进一步，

不等式的下界.

5． 设总体概率函数是p （x ; 0）, g （θ）的任一估计

令

们只需要考虑基于充分统计量的估计.

【答案】我们将均方误差作如下分解

注意到

这说明

于是

因而

为的UMVUE.

C-R 下界为

故此UMVUE 的方差达不到C-R

记

我们将（**）式的两端再对H 求导，得

是其样本，

，证明：

是θ的充分统计量，则对

这说明，在均方误差准则下，人

第 4 页，共 41 页