2017年曲阜师范大学数学科学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量X 服从负二项分布，其概率分布为
证明其成功概率p 共轭先验分布族为贝塔分布族. 【答案】取成功概率p 先验分布为
则
与的联合分布为
所以，
即成功概率p 的后验分布为分布族.
2． 证明:若与
【答案】由F 变量的构造知立, 因此F 变量r 阶矩为
, 其中. 由
且v 与W 相互独
容易算得
则当
时有
由此写出E （F ）
故成功概率p 的共轭先验分布族为贝塔
从而可得当r=l时, 只要
就有
在其他场合, 不存在.
当r=2时, 只要
就有
3． 设随机向量（
令
证明:
两两不相关的充要条件为
则
同理可得
由此得必要性:若由此得
4． 设随机变量序列数, 并求出c.
【答案】因为
, 且
）间的相关系数分别为且
【答案】充分性:若
两两不相关.
两两不相关, 则由上面的推导可知
独立同分布, 且令, 试证明:其中（3为常
所以由切比雪夫不等式得, 任对即即
5． 设
证明： （1）（2）【答案】（1）由
是
是来自正态总体再由本节第3题知
有
的一个样本，若均值μ已知，
的有效估计；
是知
的无偏估计，但不是有效估计.
为了获得
的元偏估计的C-R 下界，
需要费希尔信息量，大家知道，正态分布的密度函数p （x ）的对数是
由此得的费希尔信息量
从而的无偏估计的C-R 下界为
是
的有效估计.
此下界与上述无偏估计的方
差相等，故此
（2）由于
可见，
即是的无偏估计，其方差为
为了获得的无偏估计的C-R 下界，需要知道的费希尔信息量，由于
从
而
的元偏估计的C-R 下界
为故
不是
由于无偏估
计
的方
差
的有效估计. 此处
，的无偏估计的C-R
下界与
的方差的比为
该比值常称为无偏估计的效.