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一、证明题

1． 设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布知参数且，

（II

）设（III ）证明故得X 的概率密度为

（II

）设

为样本

的观测值，则似然函数为

令故

的最大似然估计量为

解得

故

有由此得独立同分布, 试证:

【答案】设诸而事件

从而该事件的概率为

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其中是未

设Z=X-Y。

为来自总体Z 的简单随机样本，求的无偏估计量。

的最大似然估计量

；

（I ）求Z 的概率密度

【答案】（I ）由于X 与Y 相互独立，则Z=X-Y服从正态分布，且

（III ）由于

2． 试证：对任意的常数

【答案】于所以

3． 设连续随机变量

的无偏估计量。

由

的密度函数为P （x ）, 其联合密度函数为.

若记诸的分布函数为则上式积分可化为

4． 若事件A 与B 互不相容，且

证明：

【答案】

5． 设随机向量（

令

证明:

两两不相关的充要条件为

则

同理可得

由此得必要性:若由此得

6． 设随机变量序列

独立同分布, 其密度函数为

试证:

【答案】因为当x<0时,

有

当

„所以, 对任意的

时,

有

, 当

所以有

结论得证.

而当时, 有

时,

有

其中常数

, 令

两两不相关.

两两不相关, 则由上面的推导可知

【答案】充分性:若

且

）间的相关系数分别为

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7． （格涅坚科大数定律）设是随机变量序列, 若记

则服从大数定律的充要条件是

【答案】先证充分性. 任对注意到t>0时. 是增函数, 故当

时, 有

因此有

所以当再证必要性.

设有

因为函数

时, 有

服从大数定律,

即

是增函数及

故则任对

服从大数定律.

存在N ,

当, 得

由于的任意性, 所以

8． 设连续随机变量X 服从柯西分布, 其密度函数如下:

其中参数

（1）试证X 的特征函数为（2）当（3）若

【答案】（1）因为

时, 记Y=X, 试证

的密度函数为

y 的特征函数为

下证柯西分布的可加性, 设

, 由此得服从参数为

的特征函数

的柯西分布, 其密度函数为

若

与

相互独立, 则

这正是参数为

的柯西分布的特征函数, 所以由唯一性定理知,

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时,

常记为

且利用此结果证明柯西分布的可加性；

, 但是X 与Y 不独立；

与同分布.

相互独立, 且服从同一柯西分布, 试证:

服从参