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一、计算题

1． 某厂生产的化纤强度服从正态分布，长期以来其标准差稳定在σ=0.85, 现抽取了一个容量为n=25的样本，测定其强度，算得样本均值为的置信区间.

【答案】这是方差已知时正态均值的区间估计问题.

由题设条件

于是这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间为

即这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间为[1.9168, 2.5832].

2． 针对糖果包装研究的数据，请用修正的Bartlett 检验在显著性水平否满足方差齐性假定.

【答案】在例中，r=4，各组样本量不相等，且样本量分别为2，3，3，2，都不大，只能用修正的Bartlett 检验. 由例数据可求得各水平下的样本方差为

且例中已经求得

于是

从而可求得Bartlett 检验统计量的值：

进一步，有

因而可得到修正的Bartlett 检验统计量为

若取显著性水平

处检验统计量值

未落入拒绝域中，故接受原假设

拒绝域为

此

下考察四个总体是

，

查表知

，试求这批化纤平均强度的置信水平为0.95

认为四个水平下的方差无显著差

异.

3． 设随机变量X 服从（0，1）上的均匀分布，试求以下Y 的密度函数：

（1）（2）

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（3）（4）

【答案】X 的密度函数为

（1）因为Y 的可能取值区间为调减函数，其反函数为

且

，且

所以

在区间（0，1）上为严格单

的密度函数为

（2）因为Y 的可能取值区间为（1，4），且増函数，其反函数为

且

在区间（0，1）上为严格单调

所以Y=3X+1的密度函数为

（3）因为Y 的可能取值区间为（1，e ），且数，其反函数为

且

所以

甶区问（0，1）上为严格单调增函的密度函数为

（4）因为Y 的可能取值区间为其反函数为

且

所以

且

在区间（0，1）上为严格单调减函数，的密度函数为

4． 某人每天早上在汽车站等公共汽车的时间（单位：mk ）服从均匀分布假设的先验分布为‘求后验分布.

【答案】

与的联合分布为

此处

于是的后验分布为

5． 设总体密度函数为

【答案】对数密度函数为

将上式对θ求导，得到

二阶导函数为

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，其中未知，

假如此人在三个早上等车的时间分别为5, 3, 8min ，

所以与的联合分布为

x ＞c ，c ＞0已知，θ＞0，求θ的费希尔信息量I （θ）.

于是

6． n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率.

【答案】设甲已先坐好，再考虑乙的坐法，显然乙总共有n-1个位置可坐，且这n-l 个位置都是等可能的，而乙与甲相邻有两个位置，因此所求概率为2/（n-1）.

7． 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各任取一粒，求：

（1）两粒种子都能发芽的概率； （2）至少有一粒种子能发芽的概率； （3）恰好有一粒种子能发芽的概率.

【答案】记事件A 为“从甲中取出能发芽的种子”，B 为“从乙中取出能发芽的种子”.则P （A ）=0.8，P （B ）=0.9.由经验知，事件A 与B 相互独立.

（1）P （两粒种子都能发芽）（2）P （至少有一粒种子能发芽）

（3）P （恰好有一粒种子能发芽）

8． 设

其中

试问

是否服从大数定律？

为独立同分布的随机变量序列, 其共同分布为

【答案】因为

由柯西积分判别法知上述级数收敛, 故

存在, 所以由辛钦大数定律知

服从大数定律.

二、证明题

9． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明：

（1）（2）

【答案】（1）由于

存在，所以该级数绝对收敛，从而有

（2）

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