2017年首都师范大学应用统计,金融统计,数学教育统计之概率论与数理统计复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 分别用随机投点法和平均值法计算下列定积分:
【答案】（1）随机投点法. 先用计算机产生（0, 1）上均匀分布的2n 个随机数（譬如构成n 个数对
记以记满足不等式
平均值法. 先用计算机产生n 个（0, 1）上均匀分布的随机数算
, 最后得的估计值为
（2）对于第二个积分
先将其化成
区间上的积分. 令
»
则
此时有
其中对
•）, 构成n 个数
以
记满足不等式
的次数, 则
平均值法. 先用计算机产生n 个（0, 1）上均匀分布的随机数算
最后得J 的估计值为
2． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数如下, 试求（X , Y ）的协方差矩阵.
（1）（2）
【答案】（1）因为
可分离变量, 所以X 与Y 相互独立, 由此知
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）,
的次数,
则然后对每个
计
随机投点法. 先用计算机产生（0, 1）上均匀分布的2n 个随机数（譬如
然后对每个计
又因为
所以
由此得（X , Y ）的协方差矩阵为
（2）利用
的对称性可得
所以
又因为
所以
由此得
的协方差矩阵为
3． 设
其中
试问
是否服从大数定律？
为独立同分布的随机变量序列, 其共同分布为
【答案】因为
由柯西积分判别法知上述级数收敛, 故
存在, 所以由辛钦大数定律知
服从大数定律.
4． 某厂产品的不合格品率为0.03，现要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100件合格品，那么每箱至少应装多少件产品？
【答案】设每箱装l00+k件产品，则每箱中的不合格品数X 服从二项分布b （100+k，0.03）. 根据题意要求k ，使X 小于等于k 的概率至少为0.9，即式的
k
在此p=0.03，n=100+k较大，可用二项分布的泊松近似，得
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也就是求满足下述不等
于是上
式可改写为
查泊松分布表得
故取k=5是恰当的，即每箱中装105件产品可使每箱中至少有100件合格品的概率不小于0.9.
5． 设K 服从（1，6）上的均匀分布，求方程
【答案】方程
有实根的充要条件是
而K 〜U （l ，6），因此所求概率为
6． 三人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为1/5，1/3，1/4.求此密码被译出的概率.
【答案】记事件
为“第i 个人译出密码”，i=l，2，3，B 为“密码被译出”.则
注：互不相容可简化事件并的概率计算，相互独立可简化事件交的概率计算. 这里为了要利用相互独立性，把事件并在对偶法则下转化为事件交，这一方法以下会经常用到.
7． 设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6，P （B ）=0.8，问：
（1）在什么条件下P （AB ）取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P （AB ）取得最小值，最小值是多少？ 【答案】（1）因为时，P （AB ）的最大值是0.6.
（2）因
为
而当
8． 设
时，有P （AB ）达到最小值0.4.
所以有
所以当P （AB ）=P（A ）
有实根的概率.
是来自拉普拉斯（Laplace ）分布
的样本, 试给出一个充分统计量. 【答案】样本的联合密度函数为
取
计量.
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, , , 由因子分解定理, 为的充分统