2017年四川师范大学数值计算方法之概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设X 为随机变量，其样本空间为
记事件
写出下列各事件(1)：
【答案】
的图示如图:
图
（1）
（2）（3）由于（4）由于
所以
所以AB=A，故
故
(2)
(3)
(4)
2． 设总体X 的密度函数为：
为抽自此总体的简单随机样本，求位置参数的置信水平近似为
【答案】由于此柯西分布关于对称，故是总体中位数. 其样本中位数
从而可知位置参数的置信水平近似为
的置信区间为
3． 从数字0, 1, …, n 中任取两个不同的数字, 求这两个数字之差的绝对值的数学期望.
【答案】记X 与Y 分别为第1次和第2次取出的数字, 则
所以
的置信区间.
所以
4． 一个系统由多个元件组成，各个元件是否正常工作是相互独立的，且各个元件正常工作的概率为p. 若在系统中至少有一半的元件正常工作，那么整个系统就有效. 问p 取何值时，5个元件的系统比3个元件的系统更有可能有效？
【答案】记X 为5个元件的系统中，正常工作的元件数；Y 为3个元件的系统中，正常工作，Y 〜b （3，p ）. 的元件数. 则X 〜b （5，p ）
对X 而言，系统有效的概率为
对Y 而言，系统有效的概率为
根据题意，求满足下式的P :
即
上述不等式可简化为从而有
5． 已知随机变量X 的密度函数为
试求随机变量Y=g（X ）的概率分布，其中
【答案】因为p （x ）为偶函数，所以可得所以Y 的分布列为
表
6． 设
（1）（2）（3）
为退化分布:
由此得
）
试问下列分布函数列的极限函数是否仍是分布函数？（其中
【答案】（1
）因为此时的极限函数为质:
所以不是分布函数. （2）因为此时的极限函数为（3）因为此时的极限函数为
所以是分布函数.
不满足分布函数的基本性
不满足分布函数的右连续性, 所以不是分布函
数.
7． 设二维随机变量（X , Y ）服从圆心在原点的单位圆内的均匀分布, 求极坐标
的联合密度.
【答案】因为（X , Y ）服从圆心在原点的单位圆内的均匀分布, 所以（X , Y ）的联合密度函数为
则
所以
由此得
和
的联合密度函数为
8． 若事件A 与B 相互独立且互不相容，试求
【答案】由条件知P （AB ）=P（A ）P （B ）=0，
所以
二、证明题
9． 从同一总体中抽取两个容量分别为mm 的样本, 样本均值分别为
, 将两组样本合并, 其均值、方差分别为
【答案】设取自同一总体的两个样本为由
得
由
得
,
样本方差分别为
证明: