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一、证明题

1． 将函数

【答案】由

逐项积分上式得

因为

及

在[0, 1]上连续.

收敛, 则

在[0, R]上一致收敛, 且

若

和函数

在

上有界, 则

收敛

, 还可以逐项积分, 即

根据定理“若

在x=0点展开为幂级数, 并证明此幂级数在[0, 1]上一致收敛.

可知级数

2． 证明定理: 数列

收敛; 再根据以上定理知幂级数在[0, 1]上一致收敛.

收敛于a 的充要条件是:

的极限是1. 为无穷小数列, 则

按照数列收敛的定义, 数列

于是, 对任意收敛于a.

时

,

即

存在N , 使得

当

存在N , 使

即

为无穷小数列.

并应用它证明数列【答案】（1）充分性, 设得当

时, 必要性, 设数

列于是, 数列（2）因为

收敛于a , 那么, 对任

意

为无穷小数列.

收敛于0, 即

是无穷小数列, 所以

3． 证明:若f （x ）在[a, b]上只有第一类间断点, 则f （x ）在[a, b]上有界.

【答案】假设f （x ）在[a, b]上无界, 则对每一个自然数n ,

存在互异点列

. 由致密性定理, 存在但

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使

的子列从xQ 的左方或右方收敛于与

,

不收敛, 即不存在, 这与f （x ）只有第一类间断点矛盾.

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4． 试应用定义证明:

时,

【答案】因为当

从而对任给

取

则当

时,

所以

5． 设n 为整数,

若

函数的充要条件是

【答案】方法一 令函数求偏导数得

再由条件

得出

, 这意味着F 只是的函数, 即

或

, 所以

同样得到F 只是的函数.

.

作为自变量, 因为

, 变换把f （x

, y）变为

, 即

.

, 由复合

, 则称f 是

n 次齐次函数. 证明:f （x , y）是零次齐次

方法二上面复合函数求偏导数时是把

x ,

y 作为自变量, 也可以把

二、解答题

6． 设函数f , g , h , s , t 的定义如下:

试依链式法则求下列复合函数的导数: （1）

; （2）'

; （3）

; （4）, 则

（2）令

, 则

; （5）

; （6）

.

【答案】（1）令

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（3）令

则

（4）令

则

（5）令

则

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，共

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