2018年杭州师范大学理学院726数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、综合题
1． 设为正实数, 确定使A 的范围（要叙述过程）.
【答案】当当由
上有界可知, 尽管
在
不一致连续. 当
时, 取
,
时,
在
事实上,
当
时, X 显然在时, 因为
上一致连续.
上一致连续即可.
上不一致连续.
在[0, 1]上一致连续,
所以只要证明它在在
上一致连续的的范围以及使在
不一致连续的
, 但是
故在上不一致连续.
2． 计算沿空间曲线的第二型曲线积分:
（1）（2）
【答案】（1）曲线的参数方程为时, 点（x , y , z ）依次经过1, 2, 7, 8卦限, 于是
（2）记球面L 3, 如图所示, 则
与xy 平面的交线为L 1, 与yz 平面的交线为L 2, 与zx 平面的交线为
其中L 为
与y=z相交的圆, 其方向按曲线依次经过1, 2, 7, 8卦限;
其中, L 为球面
在第一卦限部分的边界, 当从0增加到27c
曲线, 其方向按曲线依次经过xy 平面部分, yz 平面部分和zx 平面部分.
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图
设
其中
依
同理
,
所以
3． 试写出单位正方体为积分区域时, 柱面坐标系和球面坐标系下的三重积分的上下限.
【答案】在柱面坐标系下, 用z=c的平面截立方体, 截口是正方形, 因此, 单位立方体可表示为
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在球面坐标系下,
用
的平面截立方体, 截口是长方形, 因此单位立方体可表示为
和
和
其中
4． 求下列函数的周期:
（1） （2） （3） 【答案】（1）（2）由（3）
的周期是可知, 的周期
的周期
的周期是
.
从（a , 0）到（﹣a , 0）
故
的周期是
.
的周期的周期是
4和6的最小公倍数是12, 故
5． 应用格林公式计算曲线积分的一段.
|其中L 为上半圆周
【答案】由于原积分曲线不是封闭曲线, 不能应用格林公式, 加上从（﹣a , 0）到（a , 0）的直线段L 1, 则有
其中D 为封闭曲线L+ L1所围成的区域, 由极坐标变换,
即原积分
.
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