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一、证明题

1． 设f （x ）在[0, 1]上连续且满足

证明:

【答案】显然,

, 有

对上式从0到1积分, 得

在上式两边同乘以正数

, 得

最后一步的不等式是根据函数

2． 证明定理: 设函数f 在点的某空心右邻域为极限的递减数列

【答案】

若且

设

则存在某一个正数

不论

多么小, 总存在一点x ,

使得

使之满足

显然设

减数列

且

单调递减, 且则对任给的

, 但, 存在

收敛（m1=0）, 且在同一括号中的

亦收敛.

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有最大值而得到的. 有定义.

有

,

现用反证法证明

的充要条件是:对任何以

有

设对任何以

为极限的递减数列

并

因此, 可以取到数列

与题设矛盾. 故

使得当

时, 有时, 有

设递,

. 则对上面的存在正整数N , 使得当

从而当时有故

3． 设级数满足:加括号后级数

符号相同，证明

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【答案】

因为收敛，

所以 又因为括号内符号相同，

所以其中

设则

存在. 又对任意的n ，

存在k ，使得故

又当时必有

从而

存在，即收敛，实际上两级数收敛到同一个数.

4

． 证明

:若级数

与

收敛, 则级数

和

也收敛, 且

【答案】因为

又及

均收敛, 所以

收敛, 故

收敛.

又因为

所以

收敛, 故由柯西﹣施瓦兹不等式

及闵可夫斯基不等式

对

取极限, 进而可得所证明的不等式.

5． 证明:若函数

u=f（x , y ）满足拉普拉斯方程:

则函数也满足此方程.

【答案】令

则有

同理

由于

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页

①

②

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故有

同理

将①和②两式相加, 并把上述结果代入整理后得

6

．

设

在

上连续,

绝对收敛, 证明:

【答案】因为因为

绝对收敛, 当n 足够大的时候

由于的任意性,

所以命题成立.

连续, 所以当n 足够大的时候

二、解答题

7． 利用归结原则计算下列极限

:

（1）

【答案】（1）令

（2）, 则有

由归结原则, 得

（2）令

, 则

由归结原则, 得

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