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一、计算题

1． 用拉贝判别法判别下列级数的敛散性:

（1）（2）

【答案】（1）因为

所以（2）因为

由拉贝判别法, 当x>l时原级数收敛；当x<1时原级数发散；当x=l时, 原级数化为发散.

2． 求积分

也

故由拉贝判别法可得原级数收敛.

【答案】而

所以

又因为

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所以

3． 求螺旋线

对z 轴的转动惯量, 设曲线密度为L

【答案】

则

4． 计算第二型曲面积分

其中f （x , y , z ）为连续函数, 是平面x －y+z=1在第四卦限部分, 方向取上侧, 【答案】设曲

面

的单位法向量

为

,

. 由此可得

,

• 具体到本例,

因而

. 于是

其中是曲面在xOy 平面的投影.

5． （1）设级数

在X 上一致收敛, 求证:级数的一般项

在X 上一致趋于零;

（2）讨论级数

在x>0上的一致收敛性.

【答案】（1）由一致收敛原理, , 使得

p>1, 有

即得

在X 上一致趋于零.

（2）对固定的x>0, 由

可知,

对任意固定的x 收敛. 但

因此根据（1）, 原级数在x>0上不一致收敛.

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则

6． 应用换元积分法求下列不定积分:

（1）（3）（5）（7）（9）（11

）（13）（15）（17）（19）（21）（23）（25）（27）（29）（31）（33）（35）【答案】 （1）

（2）（3）（4）

*

（5）

（2） （4）

（6）

（8） （10） （12） （14）t （16）

（18） （20） （22） （24） （26）

（28）

（30）

（32）; （34） （36）

G 为自然数

;

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