2018年黑龙江大学中俄学院(中俄联合研究生院)850数学分析考研基础五套测试题
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2018年黑龙江大学中俄学院（中俄联合研究生院）850数学分析考研基础五套测试题（一） . 2 2018年黑龙江大学中俄学院（中俄联合研究生院）850数学分析考研基础五套测试题（二） . 5 2018年黑龙江大学中俄学院（中俄联合研究生院）850数学分析考研基础五套测试题（三） 12 2018年黑龙江大学中俄学院（中俄联合研究生院）850数学分析考研基础五套测试题（四） 17 2018年黑龙江大学中俄学院（中俄联合研究生院）850数学分析考研基础五套测试题（五） 22
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一、证明题
1． 叙述数集A 的上确界定义, 并证明:对任意有界数列
总有
【答案】若存在数满足下面两条: （1）都有
（2）一定存在
有
.
则称a 为数集A 的上确界, 即
令
则
2． 设f （x ）在（a , b ）内可导
,
’, 求证:, 使得
且
【答案】取y>0足够大, 使得
则有
再由拉格朗日定理,
使得
联合（1）式与（2）式, 即得, 且
3． 证明抛物线
在顶点处的曲率为最大.
【答案】
►
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显然当
时, 是单调递减的. 故当2ax+b=0时, K 取最大值.
, 即抛物线
在顶点处的曲率为最大.
由2ax+6=0得
二、解答题
4． 求心形线
【答案】
的切线与切点向径之间的夹角.
由半角公式
得 5． 方程
【答案】
令②F （0, 1, 1）=0; ③④
6．
求a
, b 的值
, 使椭圆
【答案】设
均在上述邻域内连续；
. 故当
时,
; 当
时,
在点（0, 1, 1
）的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的函数？
, 则
①F （x , y , z ）在点（0, 1, 1）的某邻域内连续；
故由定理知, 在点（0, 1, 1）的某邻域内原方程能确定出函数x=f（y
, z ）和y=g（x
, z ）
.
,
的周长等于正弦曲线
. 椭圆周长
正弦曲线在
上一段的弧长
令
,
, .
, 则
,
. 若
, 则
,
若
则
在
上一段的长.
, 则椭圆的半焦距
7．
试写出下列类型极限的精确定义:
（1）
（2）
【答案】（1）设得当
且
以A 为极限, 记为
（2）设使得当则称当
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为D 上的函数, A 是一个确定的数. 若对任给的正数总存在正数M , 使时, 恒有
为D 上的函数, A 是一个确定的数, 如果对任给的正数且
时,
时, 恒有以A 为极限, 记为
成立,
总存在一个正数
成立, 则称当
时,
函数
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8． 试写出单位正方体为积分区域时, 柱面坐标系和球面坐标系下的三重积分的上下限.
【答案】在柱面坐标系下, 用z=c的平面截立方体, 截口是正方形, 因此, 单位立方体可表示为
在球面坐标系下, 用
的平面截立方体, 截口是长方形, 因此单位立方体可表示为
和
和
其中
9． 设y=y（x ）是由方程
所确定的隐函数, 试求
.
【答案】欲将y 从所给的方程中解出来是非常困难的, 甚至是不可能的, 因此, 必须引入参数形式令y=tx, 代入所给的方程可得
故
, 则
,
.
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