2018年贵州民族大学理学院616数学分析B考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． [1]设函数f （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可微, 又f （x ）不是线性函数. 证明:使
[2]设f （x ）在[0, 1]上可导, 且内存在一组互不相等的数
使得
为n 个正数. 证明在区间[0, 1]
.. ,
【答案】过点（a , f （a ））与（b , f （b ））的直线方程为
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=f=f. 由于f , g 显然, g （a ）（a ）（b ）（b ）（x ）不是线性函数, 故存在点不妨设
, 则有
由拉格朗日中值定理,
时, 有
, 使
[2]用上例的思路来证明之. 令
以及
显然可以求得一点
又可求得一点
使得
在每一个小区间
使使
. 取.
再在. 总之, 我们有
上, 对f （x ）应用拉格朗日中值定理, 存在
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, 使.
和, 使
, 取,
取
; .
当
于是, 总存在
当f （a ）>f（b ）时, 有
在[0, 1]上对f （x ）应用介值定理,
上对f （x ）应用介值定理,
.
, 使得
. 如此下去, 可以求出
即
亦即
将上式对i 从1到n 求和, 可得
2． 设f :是否必为闭集?
【答案】不一定, 反例: （1）对于连续函数（2）对于连续函数
3． 证明:若
（1）（2）
【答案】（1）令从这个等式中解出因为
, 所以, 则
, 其中 , 在区间得,
. 又因为
所以
（2）
上应用拉格朗日中值定理, 得
|为开集, 但f （A ） = [0, 1）不是开集.
为开集, 但f （B ） = （0, 1）不是闭集.
为连续函数
为任意开集
' 为任意闭集, 试问, f （A ）是否必为开集?f （B ）
4． 对下列命题, 若认为是正确的, 请给予证明; 若认为是错误的. 请举一反例予以否定:
（1）设
, 若f 在点x 0可导, 则, 在点x 0可导;
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（2）设（3）设（4）设可导.
而题设矛盾.
与
, 若在点x 0可导, 在点x 0不可导, 则f 在点x 0—定不可导; , 若f 在点x 0可导, 则, 在点x 0可导;
, 若在点x 0可导, 在点x 0不可导, 则f 在点x 0—定不可导.
,
, 则
, f （x ）在
处
在x 0=0处都不可导.
在x 0也可导. 这与
处处可导.
但
【答案】（1）命题错误. 如取
（2）命题正确. 反证法. 假如f 在点x 0可导, 又因在点x 0也可导, 则（3）命题错误. 如取处处不可导. （4）命题错误.
如取在
不可导, 而f （x ） =0在x 0=0可导.
与有
5． 设f （x ）在（0, 1）内有定义, 且函数
在（0, 1）内连续.
【答案】这表明
令
得在式（1）中, 令
. 得
所以
, 即
.
由
可知, 对
, 即
, 则
在
可导
.
（狄利克雷函数）, 则
在（0, 1）内都是单调不减的. 试证:f （x ）
都存在. 又由
知对
, 有
.
由式（2）、式（3）知, 连续.
由
6． 若函数u=u （x , y ）满足拉普拉斯方程. 满足这个方程.
【答案】设而由
及
注意到
, 则有
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. 类似地可证:, 从而f （x ）在点
的任意性知, f （x ）在（0, 1）内连续.
, 证明:函数.
也
’‘, 则