2017年江苏大学财经学院886概率论与数理统计基础考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量
（1）（2）
【答案】（1）设所以当即
时,
的密度函数为
即（2）因为以
由此得
所以（X , Y ）的联合密度函数为
这说明X 和Y 是相互独立的标准正态随机变量.
2． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.
【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以
3． 设时,
为一独立同分布的随机变量序列, 已知
近似服从正态分布, 并指出此正态分布的参数.
【答案】因为
为独立同分布的随机变量序列, 所以
也是独立同分布的随机变量序列. 即A ，B 相容.
试证明:当n 充分大
, 所以
又因为
所
时,
和
则
的密度函数为
则
所以
当
与
相互独立, 且都服从（0, 1）上的均匀分布, 试证明:
是相互独立的标准正态随机变量.
根据林德伯格-莱维中心极限定理知, 近似服从正态分布, 其参数为
4． 试证：对任意的常数
【答案】于
5． 设
证明:
所以
为独立随机变量序列, 且
有由此得
由
服从大数定律.
相互独立, 且
由此可得马尔可夫条件
由马尔可夫大数定律知 6． 记
证明
【答案】
由
得
7． [1]设随机变量X 仅在区间[a，b]上取值，试证：
[2]设随机变量X 取
值
的概率分别
是
【答案】因为所以
服从大数定律.
证明：
【答案】[1]仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，因为
同理可证，
由上题的结论知
[2]仿题[1]有
8． 设连续随机变量X 的密度函数为p （X ）, 试证:p （x ）关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.
【答案】记X 的特征函数为为
这表明X 与-X 有相同的特征函数,
从而X 与-X 有相同的密度函数, 而-X 的密度函数为关于原点是对称的.
再证必要性, 若由于-X 的特征函数为
, 则X 与-X 有相同的密度函数, 所以X 与-X 有相同的特征函数, 所以
故
是实的偶函数. 所以得
, 即
先证充分性. 若
是实的偶函数, 则
又因
二、计算题
9． 在一时内甲、乙、丙三台机床需维修的概率分别是0.9，0.8和0.85，求一小时内
（1）没有一台机床需要维修的概率； （2）至少有一台机床不需要维修的概率； （3）至多只有一台机床需要维修的概率.
【答案】设事件A ，B ，C 依次表示甲、乙、丙三台机床需要维修. （1）（2）（3）