2017年江苏科技大学计算机科学与工程学院817概率论与数理统计考研冲刺密押题
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一、证明题
1． 试验证:以下给出的两个不同的联合密度函数, 它们有相同的边际密度函数
.
【答案】因为当
时, 有
又因为当0 所以 2． 设随机向量（ 令 证明: 两两不相关的充要条件为 则 同理可得 第 2 页，共 39 页 有相同的边际密度函数. ）间的相关系数分别为 且 【答案】充分性:若 由此得必要性:若由此得 两两不相关. 两两不相关, 则由上面的推导可知 3． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p ，证明：此商场一天内购物的顾客数服从参数为 的泊松分布. 【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有 这表明：Y 服从参数为 4． 设 的泊松分布. 是来自二点分布b （1, p ）的一个样本， （1）寻求的无偏估计； （2）寻求p （1-p ）的无偏估计； （3）证明1/p的无偏估计不存在. 【答案】（1）是 的一个直观估计，但不是的无偏估计，这是因为 由此可见（2） 是的无偏估计. 是p （1-P ）的直观估计，但不是p （1-P ）的无偏估计，这是因为 由此可见 （3）反证法，倘若 是p （1-p ）的一个无偏估计. 是1/p的无偏估计，则有 或者 上式是p 的n+1次方程，它最多有n+1个实根，而p 可在（0, 1）取无穷多个值，所以不论取什么形式都不能使上述方程在0＜p ＜l 上成立，这表明1/p的无偏估计不存在. 5． 证明下列事件的运算公式： （1）（2）【答案】⑴ 第 3 页，共 39 页 （2）利用（1）有 所以 6． 设随机变量序列UJ 独立同分布, 其密度函数为 试证: 【答案】因为的分布函数为所以当对任意的即 7． 证明 ： 【答案】不妨设另一方面，还有 则 时, 有 当, 结论得证. 时, 有 令 综合上述两方面，可得 8 设T 是g ，（θ）的UMVUE , 是g （θ）的另一个无偏估计证明：若． 【答案】因为T 是g （θ）的UMVUE ，即 即 且 的无偏估计，故其差 由判断准则知 ，则这说明 是0的无偏估计， 二、计算题 9． 设总体4阶中心矩 存在, 则对样本方差 , 有 其中 为总体X 的方差. 并以 简记从1到n 的求和, 于是 第 4 页，共 39 页 【答案】为书写方便起见, 记