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一、证明题

1． 对任意的事件A ，B ，C ，证明：

（1）（2）【答案】⑴

（2）因为

所以

2 设随机变量X 与Y 独立同分布, 且都服从标准正态分布N , 试证明:．（0, 1）相互独立.

【答案】设

则

所以

•由此得

和V=X/Y的联合密度为

所以

可分离变量, 即U 与V 相互独立.

3． 设X , Y 均为（0, 1）上独立的均匀随机变量, 试证:

【答案】因为（X , Y ）的联合密度函数为

所以

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4． 设P （A ）>0，试证：

【答案】因为

所以

5． 设随机变量序列数, 并求出c.

【答案】因为

, 且

所以由切比雪夫不等式得, 任对即即

6． 设

相互独立, 服从

证明:

【答案】令

, 则

再令

, 则

令

相互独立, 且

服从

再由本节第3题知

有

独立同分布, 且

令

, 试证明:

其中（3为常

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所以变换的雅可比行列式为:

计算该行列式, 可得

因为,

把雅可比行列式代入上式可得

由此可知

7． 证明：

（1）（2）

【答案】（1）由

移项即得结论.

相互独立, 且

服从

8． 设

（2）对n 用数学归纳法，当n=2时，由（1）知结论成立. 设n-1时结论成立，即

则由（1）知

, 证明:

服从贝塔分布, 并指出其参数.

, 则X 的密度函数为

由

在

上是严格单调增函数, 其反函数

为

【答案】若

Z 的密度函数为

整理得

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