2017年北京林业大学生物科学与技术学院725数学(自)之概率论与数理统计考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 若
【答案】由
试证
：
得
所以得
即
所以
即
由此得
即
2． 设是参数的无偏估计，且有
【答案】由方差的定义可知
，
因而
所以
不是的无偏估计.
3． 设A ，B ，C 为三个事件，且P （A ）=a，P （B ）=2a，P （C ）=3a，P （AB ）=P（AC ）=P（BC ）=b.证明
：
【答案】由又因为所以得 4． 如果
【答案】对任意的
试证:首先考虑
的分布函数
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试证不是的无偏估计.
由于
是参数的无偏估计，
即
得
进一步由
因此
其中
为X 的分布函数, 类似有
因此
由上述两个关系式, 再考虑到的任意性,
即可得这就意味着
证毕.
5． [1]设随机变量X 仅在区间[a，b]上取值，试证：
[2]设随机变量X 取
值
【答案】[1]仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，因为
同理可证，
由上题的结论知
[2]仿题[1]有
6． 设随机变量X 服从参数为X 的泊松分布，试证明：算
【答案】
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的概率分别
是证明
：
利用此结果计
由此得
7． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p ，证明：此商场一天内购物的顾客数服从参数为
的泊松分布.
【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有
这表明：Y 服从参数为
的泊松分布.
8． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式
（1）（2）（3）
【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.
（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率.
因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N-m+1次必取到白球，若记
为第k 次取到白球的概率，则有
且
即
对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率.
（3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率.
二、计算题
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