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一、证明题

1． 设数为

是来自均匀分布

其中

（2）求的贝叶斯估计. 【答案】（1）同时成立，必须

与

的联合分布为

所以的后验分布为

要使

与

的样本，的先验分布是帕雷托（Pareto ）分布，其密度函是两个己知的常数.

（1）验证：帕雷托分布是的共轭先验分布；

这是一个参数为

与

的帕雷托分布，因此帕雷托分布是的共轭先验分布.

（2）若选用后验期望估计，则

2． 试证：对任意的常数

【答案】

有

由

于所以由此得

3． 设随机变量X 服从（1, 2）上的均匀分布, 在X=x的条件下, 随机变量Y 的条件分布是参数为x 的指数分布, 证明:XY 服从参数为1的指数分布.

【答案】因为令

则

的逆变换为

, 所以

此变换的雅可比行列式为

所以（U , V ）的联合密度函数为

由此得U=XY的边际密度函数为

这表明:U=XY服从参数为1的指数分布.

4． 设P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，试证

【答案】

5． 设

是来自几何分布

的样本, 证明

是充分统计量.

其分布列为

在给定T=t后, 对任意的一个样本

, 有

【答案】由几何分布性质知,

该条件分布与无关, 因而

是充分统计量.

这个条件分布是离散均匀分布, 可用等可能模型给其一个解释:设想有n —1个“1”和t 个“0”, 把它们随机地排成一行, 并在最后位置上添上1个“1”, 譬如

这n 个“1”把此序列分成n 段, 每段中“0”

的个数依次记为且

我们指出, 此种序列共有

, 这就是在

这里诸服从几何分布,

, 而每一个出现是等可能的, 个（这是重复组合）

给定后

的条件联合分布.

即每一个出现的概率都是

这个条件分布还表明:

当已知统计量的值t 后, 就可按此条件分布产生一个样本

（）, 它虽与原样本不尽相同, 但其分布相同. 在功能上这等价于恢复了原样本. 这就是充分

统计量的真实含义.

6． 设总体X 的3阶矩存在, 若样本方差, 试证:

【答案】注意到

其中

是取自该总体的简单随机样本,

, 而

为样本均值, 为

又

由此,

7． 设事件A ，B ，C 的概率都是1/2，且P （ABC ）=+P（AC ）+P（BC ）-1/2.

【答案】因为

上式移项即得结论.

8． 设0

【答案】由条件

得

试证：A 与B 独立.

再由上题即得结论.

证明：2P （ABC ）=P（AB ）

二、计算题

9． 一颗骰子抛两次，求以下随机变量的分布列：

（1）X 表示两次中所得的最小点数； （2）Y 表示两次所得点数之差的绝对值.

【答案】（1）一颗骰子抛两次，共有36种等可能的结果.X 表示两次中所得的最小点数，则X 的可能取值为1，2，3，4，5，6。由确定概率的古典方法得

将以上计算结果列表为

表1