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一、证明题

1． 设上单调不减.

【答案】为了叙述方便, 引入一个算子D , 满足:

易知, 若设函数答:选取m

满足由由

的连续性知A 非空, 取

的定义知, 当

时,

成立, 那么

在, 对, 这与

上单调不减. 丨在

在

上非单调不减, 则存在<上应用引理, 知存在,

矛盾, 所以则得.

在

上单调不减.

在

上单调不减.

, 即证得

,

可导, 则

满足

则存在

考虑如下集合

则

使得

且对任何

都有

, 求证:f （x ）在（a , b ）

先证明一个十分有用的引理:

又由点集A 的定义知上确界是极限点, 因此存在令

则

及且

当n 充分大时, 有作由条件知可以验证满足使得对任意用反证法, 假若

由下极限的最小值性, 不难推出

2． 设f （X ）为二阶可微函数, F （X ）为可微函数, 证明函数

满足弦振动方程

及初值条僻

—,

.

【答案】

所以

3． 设函数f 在（a , b）内可导, 且单调. 证明在（a , b ）上连续.

【答案】

设在

内递增且以

极限定理知,

因为f （x ）在x 0可导,

所以

.

于是

, 由x 0的任意性

知, 在（a , b ）内连续

4． 证明:圆（a>0）上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角.

【答案】设切线与向径的夹角为

可得

而当

时, tanx 为单值函数, 因而由

可推出

, 即圆上任一点的切线与向

径夹角等于向径的极角.

在（a , b ）内递增.

设

, 则

在某个

内递增且以和。

为上界,

为下界. 根据单调有界定理知, 极限

都存在. 再由导数

二、解答题

5． 求下列方程组所确定的隐函数组的导数.

（1）（2）

（3）

,

求求,

求

对方程组两边x 求导, 得

解此方程组得

【答案】（1）设方程组确定的隐函数组为

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（2）方程组关于x 求偏导, 得

解得:

方程组关于y 求偏导数

, 得

解得

（3）把u , v 看成x , y 的函数, 对x 求偏导数

解之得

6． 若曲线以极坐标线积分:

（1）

其中L 为曲线

的一段;

在圆

r=a内的部分.

故（1）（2）

（2）其中L

为对数螺线【答案】因L 的参数方程为且

表示, 试给出计算

的公式, 并用此公式计算下列曲