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一、证明题

1． 设

为开集,

, 存在

. , 当

在, 当

可微, 试证明:

时, 有

（2）存在

时, 有

（这称为在可微点邻域内满足局部利普希茨条件） 【答案】（1）因为, 在其中

即

处可微, 依定义

, 当

时, 有

使

故当

（2）在（1）中取其中

2． 设

（1）（2）（3）若

.

为有界数列, 证明:

s , 则

（4）若

’

则为有界数列知.

也是有界数列, 故

并存在子列

与. 使得时有

, 即

（2）

设

于是, 此时有

由的任意性可得

*

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（1）任给

时, 有

, 则

【答案】（1）由于是,

对于, 使得

都存在. 设

并且存在子列

则对任意>0, 存在N , 使得当n>N时有

,

任给

, 存在正整数N ,

使得当

按上极限、下极限的定义有,

由定理知, 对任给

的

存在N , 使得

当时,

有

由上、下极限的保不等式性可得

即（3）设使得当

时,

有

由定理知, 对任给的

, 由此得

同理可证

, 使得’因此

单调, 则

, 存在N , 当n>N时, 有

故

, 又存在另一子列

使得

, 存在正整数N ,

,

由上、下极限的保不等式性有由的任意性可知. （4）存在

的子列

3． 证明:若正项级数

收敛, 且数列

【答案】因为正项级数又由

单调可知

收敛. 故由柯西收敛准则, 任意的正数

发散）, 从而

必单调递减（否则级数

从而

又从而

4． 设函数等式:

【答案】设

则

在区间

上严格递增且连续

,

注意到

故

, 故

为的反函数, 试证成立

5． 设

射; （2）证明:f 在

【答案】（1）因为

所以

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, （1）证明:当时, <

.

, 但在R 上, f 不是一一映

2

上是一一映射, 并求

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由于（2

）对于即

且

故一一映射, 由

有

根据定理有

6． 设函数列

【答案】设当又设

. 与时,

,

, 存在正整数N 0, 使得

而

, 所以

同理可证

g （x ）在I 上也有界. 设其次证明

与

在I 上一致有界. 由I

整数N 1

, 当n> N1时有

对

因此

,

当

时有

, 则

最后证明有

于是当n>N时,

有

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, 故在R 上f 不是一一映射

.

当且仅当

2

, 当且仅当, 且, 因此

f 在D 上是

在区间I 上一致收敛, 且对每个n ,

在I 上必一致收敛

.

,

与都是I 上的有界

函数（不要求一致有界）. 证明:

首先证明f （x ）, g （x ）在I 上有界.

. ,

_

, 故存在正

令, 及有

, 取正整数N , 使得当n>N时,