2018年曲阜师范大学信息科学与工程学院602高等数学B(含线性代数)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 设n 维列向
量
【答案】
记
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得
，由
线性无关，得
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而组的基础解系为数.
2．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
有无穷多解.
易知特解为
从而②的通解，
即①的通解为
对应齐次方程
A 为任意常
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是当
时，由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。
3． 设A
为
矩阵
且有唯一解. 证明：
矩阵
的解为【答案】
由
利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
得
有
线性无关，
列向量组
4．
设三维列向量组
（Ⅱ）
当
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
线性表示.
使得
线性无关；
向量组
则
有惟一解知
则方程组
. 即
即
可逆.
线性无关.
为A 的转置矩阵）.
易知
于是方程组
为可逆矩阵，
且方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
有非零解，即存在
有非零解，这与
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
和向量组线性表示；
时，
求出所有非零列向量
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
于是，方程组的基础解系可选为
_
所有非零解
_
t 为任
意非零常数.
因此，
所有非零列向量
二、计算题
5．
设
（1）AB=BA吗? （2
）（3
）【答案】
⑴因
（2
）而
（3
）
6． 设A 为三阶矩阵
，
【答案】
因得
两端取行列式得
7．
设
求
求
故A 可逆.
于是由
及
但由⑴
，
故
从而
但由⑴，
故
从
吗？ 吗？
故
问：
【答案】直接计算得
一般可得
事实上，当k=1时，（1）式显然成立； 设当k=n时，（1）式成立，那么当时，