2018年曲阜师范大学管理学院766高等数学C之工程数学—线性代数考研核心题库
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2018年曲阜师范大学管理学院766高等数学C 之工程数学—线性代数考研核心题库（一） ... 2 2018年曲阜师范大学管理学院766高等数学C 之工程数学—线性代数考研核心题库（二） ... 8 2018年曲阜师范大学管理学院766高等数学C 之工程数学—线性代数考研核心题库（三） . 17 2018年曲阜师范大学管理学院766高等数学C 之工程数学—线性代数考研核心题库（四） . 27 2018年曲阜师范大学管理学院766高等数学C 之工程数学—线性代数考研核心题库（五） . 33
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一、解答题
1． 设n 维列向
量
【答案】
记
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得
，由
线性无关，得
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而组的基础解系为数.
2．
设三维列向量组
（Ⅱ）
当
有无穷多解.
易知特解为
从而②的通解，
即①的通解为
对应齐次方程
A 为任意常
线性无关，
列向量组线性无关.
和向量组
线性表示；
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
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【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组
使得
线性无关；
向量组
不全为0
,
不全为0.
记
和向量组向量
线性表示.
则
即存在非零列向量
使得
可同时由向量组
所有非零解，即可得所有非零
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
于是，方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，
所有非零列向量
3． 已知实二次
型
的矩阵A ，满
足
且
其
中
所有非零解
_
t 为任
（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ
）求出二次型【答案】（Ⅰ）
由由
知，B
的每一列
满足
的具体表达式.
知矩阵A
有特征值即
是属于A 的特征值
.
则
与—
j 正交，于是有
令
的线性无关特征向
显然B 的第1, 2列线性无关
，量，从而知A
有二重特征值
设
对应的特征向量为
解得
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将正交化得：
再将正交向量组单位化得正交单位向量组：
令
（Ⅱ
）由于
则由正交变换
故
化二次型为标准形
故二次型 4．
设矩阵.
【答案】
求A 的特征值，并讨论A 是否可对角化? 若A 可对角化，则写出其对角
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