2018年厦门大学财政系396经济类联考综合能力[专业硕士]之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ
）求【答案】
当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，
则当g=0时，
则值的特征向量.
由
知
线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
的基础解系.
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
（Ⅱ
）
2． 已知A 是3阶矩阵
，
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量：
（Ⅲ）求秩
知的基础解系，
即为
的特征向量
是3维线性无关列向量，且
【答案】（Ⅰ）由于
令
记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与B 相似.
（Ⅱ
）由
A 的特征值为-1, -1，-1.
对于矩阵B ，
由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
得特征向量
那么由：
即
是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1
的所有特征向量是
全为0.
（Ⅲ
）由
知
故
3． 设n 维列向
量
【答案】
记
芄中
不
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得
，由
线性无关，得
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
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从而组的基础解系为
数.
4
．
已知矩阵可逆矩阵
P ，
使
有无穷多解. 易知特解为
从而②的通解，即①的通解为
对应齐次方程A
为任意常
和
若不相似则说明理由.
试判断矩阵
A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A
的特征多项式
得到矩阵A 的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
得到矩阵B 的特征值也是
当
时，由秩
知
A 可以相似对角化. 而
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
时矩阵B 只有
1个线性无
只有1个线性无关的解，即
关的特征向量，
矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵
A 和
B 不相似.
二、计算题
5． 设A 为正交阵，且detA=-1, 证明λ=-1是
A 的特征值.
【答案】由特征方程的定义因此，只需证
而
也是对称阵.
（因A 为对称阵），故
是A 的特征值
6． 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称阵，证明
【答案】根据矩阵乘积的转置规则，有由定义. 知
为对称阵.