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一、证明题

1． 设f （X ，y ）可微，I1与l2是R2上的一组线性无关向量，试证明:若（x , y ）三常数.

【答案】由已知

为的方向余弦，

①

②

则f

为的方向余弦，又因为I 1与l 2线性无关，所以

于是由①、②可得，故f （X ，y ）=常数.

2． 设f （x ）在[a, b]上有连续的导函数, f （a ）=0, 证明:

【答案】令

, 则

由f （a ）=0可知,

于是有

3． 设f :

是连续映射, 若对R 中的任何有界闭集K ,

, 并设

2

2

2

均有界. 证明:

2

是闭集.

. 记

【答案】任取点列, 欲证f （R ）是闭集, 只需证明

, 使得,

即可. 事实上, 由f 是R 到R2的映射知, 对每一个Q n , 相应地存在

显然它是有界闭集.

由

|可知

, .

, 当

n>N

时

,

, 相应

地

由已知条件, 收敛子列

再由

满足

是有界集, 所以

. , 可得

及f 的连续性, 令

是有界点列. 由致密性定理

,

. 注意到

, 故

.

存在

二、解答题

4． 设

’

求

.

【答案】方法一作变量代换t=x—2, 则

方法二因为

所以

5． 判断以下结论是否成立（若成立, 说明理由; 若不成立, 举出反例）:

（1）若（2）若而数列时,

是发散的.

存在正整数

令

使得当

则n 可

当

时

当

时, , 即

和

都收敛, 则和

收敛;

收敛.

数列

和

都收敛,

则

都收敛, 且有相同极限, 则

【答案】（1）该结论不成立. 例如,

（2）该结论成立. 设相同的极限是a ,

则对于任意

以表示为

其中时,

6． 指出下列函数的间断点并说明其类型:

（1）（2）（3）（5）

（4）（6）

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（7）.

,

所以x=0为第

【答案】（1

） f

（x ）仅有一个间断点x=0.

因为二类间断点

.

（2）f （x ）仅有一个间断点x=0.因为

所以x=0是f （x ）的第一类间断点且为跳跃间断点. （3）

是该函数的可去间断点.

（4）（5）因为

故

其中

. 因为

,

而

, 所以

, 而f （0

） =0.于是x=0为该函数的可去间断点.

其中

. 又因为

所以（6）当所以由于（7）于是,

函数的第二类间断点.

为函数的第一类的跳跃间断点.

时, 存在有理数列

. 而

, 根据函数极限的归结原则,

和无理数歹

. 与

都不存在. 所以当

时,

是

使得

, 故x=－7为函数f （x ）的第二类间断点.

故x=1是函数f （x ）的第一类的跳跃间断点.

7． 设a , b为给定实数. 试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解:

（1）（2）（3）

【答案】（1）因为

不是原不等式的解, 原不等式可化为

即